Koos eespool käsitletud kontsentreeritud jõududega võivad ehituskonstruktsioonid ja -konstruktsioonid kokku puutuda jaotatud koormused– mahu, pinna või teatud joone järgi – ja selle järgi määratud intensiivsusega.
Koorma näide ala peale jaotatud, on lumekoormus, tuule rõhk, vedeliku või pinnase rõhk. Sellise pinnakoormuse intensiivsus on rõhu mõõtmega ja seda mõõdetakse kN/m2 või kilopaskalites (kPa = kN/m2).
Probleemide lahendamisel on sageli koormus, mis jaotatud piki tala pikkust. Intensiivsus q sellist koormust mõõdetakse kN/m.
Mõelge lõigule koormatud tala [ a, b] jaotatud koormus, mille intensiivsus varieerub vastavalt seadusele q= q(x). Sellise tala toetusreaktsioonide määramiseks on vaja jaotatud koormus asendada samaväärse kontsentreeritud koormusega. Seda saab teha vastavalt järgmisele reeglile:
Vaatleme hajutatud koormuse erijuhtumeid.
A) jaotatud koormuse üldine juhtum(Joonis 24)
Joonis 24
q(x) – jaotatud jõu intensiivsus [N/m],
Elementaarne jõud.
l– segmendi pikkus
Sirgele lõigule jaotatud intensiivsusjõud q(x) on võrdne kontsentreeritud jõuga
Punktis rakendatakse kontsentreeritud jõudu KOOS(paralleeljõudude keskpunkt) koordinaadiga
b) pidev hajutatud koormuse intensiivsus(Joonis 25)
Joonis 25
V) jaotatud koormuse intensiivsus muutub lineaarselt(Joonis 26)
Joonis 26
Komposiitsüsteemide arvutamine.
Under komposiitsüsteemid Mõistame struktuure, mis koosnevad mitmest üksteisega ühendatud kehast.
Enne selliste süsteemide arvutamise funktsioonide kaalumist tutvustame järgmist määratlust.
Staatiliselt määratletavNeed on probleemid ja staatikasüsteemid, mille puhul piirangute tundmatute reaktsioonide arv ei ületa maksimaalset lubatud võrrandite arvu.
Kui tundmatute arv on suurem kui võrrandite arv, asjakohane ülesandeid ja süsteeme nimetatakse staatiliselt määramatu. Sel juhul nimetatakse erinevust tundmatute arvu ja võrrandite arvu vahel staatilise määramatuse aste süsteemid.
Mis tahes jäigale kehale mõjuva tasapinnalise jõudude süsteemi jaoks on kolm sõltumatut tasakaalutingimust. Järelikult võib tasakaalutingimustest tulenevate jõudude tasapinnalise süsteemi puhul leida mitte rohkem kui kolm tundmatut sidestusreaktsiooni.
Jäigale kehale mõjuvate jõudude ruumilise süsteemi korral on kuus sõltumatut tasakaalutingimust. Järelikult võib tasakaalutingimustest tulenevate jõudude ruumilise süsteemi jaoks leida mitte rohkem kui kuus tundmatut sidestusreaktsiooni.
Selgitame seda järgmiste näidetega.
1. Laske kaalutu ideaalse ploki (näide 4) keskpunkti hoida mitte kaks, vaid kolm varda: AB, Päike Ja BD ja on vaja kindlaks määrata varraste reaktsioonid, jättes tähelepanuta ploki mõõtmed.
Võttes arvesse ülesande tingimusi, saame koonduvate jõudude süsteemi, kus määratakse kolm tundmatut: S A, S C Ja S D ikkagi on võimalik koostada ainult kahest võrrandist koosnev süsteem: Σ X = 0, Σ Y=0. Ilmselt on püstitatud probleem ja vastav süsteem staatiliselt määramatud.
2. Tala, mille vasakpoolne ots on jäigalt kinnitatud ja mille paremas otsas on hingedega fikseeritud tugi, on koormatud suvalise tasapinnalise jõudude süsteemiga (joonis 27).
Toetusreaktsioonide määramiseks saate luua ainult kolm tasakaaluvõrrandit, mis sisaldavad 5 tundmatut tugireaktsiooni: X A, Y A,M A,X B Ja Y B. Esitatud probleem on kaks korda staatiliselt määramatu.
Sellist probleemi ei saa lahendada teoreetilise mehaanika raames, eeldades, et kõnealune keha on absoluutselt tahke.
Joonis 27
Tuleme tagasi komposiitsüsteemide uurimise juurde, mille tüüpiliseks esindajaks on kolme hingega raam (joon. 28, A). See koosneb kahest kehast: A.C. Ja B.C., ühendatud võti hinge C. Kasutage seda raami näitena kaks võimalust liitsüsteemide tugireaktsioonide määramiseks.
1 viis. Mõelge kehale A.C., koormatud etteantud jõuga R, tühistades kõik ühendused vastavalt aksioomile 7 ja asendades need vastavalt väliste reaktsioonidega ( X A, Y A) ja sisemine ( X C, Y C) ühendused (joonis 28, b).
Samamoodi võime kaaluda keha tasakaalu B.C. tugireaktsioonide mõjul IN - (X B, Y B) ja reaktsioonid ühendusliigendis C - (X C', Y C'), kus vastavalt aksioomile 5: X C= X C', Y C= Y C’.
Iga sellise keha jaoks saab koostada kolm tasakaaluvõrrandit, seega tundmatute koguarv: X A, Y A , X C=X C', Y C =Y C’, X B, Y B võrdub võrrandite koguarvuga ja probleem on staatiliselt määratletav.
Meenutagem, et vastavalt ülesande tingimustele oli vaja määrata vaid 4 tugireaktsiooni, kuid lisatööd tuli teha ühendusliigendi reaktsioonide määramisega. See on selle tugireaktsioonide määramise meetodi puuduseks.
2. meetod. Mõelge kogu kaadri tasakaalule ABC, jättes kõrvale ainult välised ühendused ja asendades need tundmatute tugireaktsioonidega X A, Y A,X B, Y B .
Saadud süsteem koosneb kahest kehast ega ole absoluutselt jäik keha, kuna punktide vaheline kaugus A Ja IN võib muutuda mõlema osa vastastikuse pöörlemise tõttu hinge suhtes KOOS. Sellegipoolest võime eeldada, et raamile rakendatud jõudude kogum ABC moodustab süsteemi, kui kasutada tahkumise aksioomi (joon. 28, V).
Joonis 28
Nii et keha jaoks ABC saab koostada kolm tasakaaluvõrrandit. Näiteks:
Σ M A = 0;
Σ X = 0;
Need kolm võrrandit sisaldavad 4 tundmatut tugireaktsiooni X A, Y A,X B Ja Y B. Pange tähele, et katse kasutada näiteks seda puuduva võrrandina: Σ M V= 0 ei too kaasa edu, kuna see võrrand on lineaarselt sõltuv eelmistest. Lineaarselt sõltumatu neljanda võrrandi saamiseks on vaja arvestada teise keha tasakaalu. Näiteks võite võtta ühe raami osadest - Päike. Sel juhul peate looma võrrandi, mis sisaldaks "vanu" tundmatuid X A, Y A,X B, Y B ja ei sisaldanud uusi. Näiteks võrrand: Σ X (Päike) = 0 või rohkem üksikasju: - X C' + X B= 0 ei sobi nendeks eesmärkideks, kuna see sisaldab "uut" tundmatut X C', kuid siin on võrrand Σ M C (Päike) = 0 vastab kõigile vajalikele tingimustele. Seega võib vajalikud tugireaktsioonid leida järgmises järjestuses:
Σ M A = 0; → Y B= R/4;
Σ M V = 0; → Y A= -R/4;
Σ M C (Päike) = 0; → X B= -R/4;
Σ X = 0; →X A= -3R/4.
Kontrollimiseks võite kasutada võrrandit: Σ M C (AC) = 0 või täpsemalt: - Y A∙2 + X A∙2 + R∙1 = R/4∙2 -3R/4∙2 +R∙1 = R/2 - 3R/2 +R = 0.
Pange tähele, et see võrrand sisaldab kõiki 4 leitud tugireaktsiooni: X A Ja Y A- selgesõnalises vormis ja X B Ja Y B- kaudne, kuna neid kasutati kahe esimese reaktsiooni määramiseks.
Toetusreaktsioonide graafiline määramine.
Paljudel juhtudel saab ülesannete lahendamist lihtsustada, kui tasakaaluvõrrandite asemel või nendele lisaks kasutatakse vahetult tasakaalutingimusi, aksioome ja staatika teoreeme. Vastavat lähenemist nimetatakse tugireaktsioonide graafiliseks määramiseks.
Enne graafilise meetodi käsitlemise juurde asumist märgime, et koonduvate jõudude süsteemi puhul saab graafiliselt lahendada ainult neid probleeme, mida saab analüütiliselt lahendada. Samal ajal on tugireaktsioonide määramise graafiline meetod mugav väikese arvu koormuste korral.
Seega põhineb tugireaktsioonide määramise graafiline meetod peamiselt järgmistel juhtudel:
Aksioomid kahe jõu süsteemi tasakaalu kohta;
Aksioomid tegevuse ja reaktsiooni kohta;
Kolm jõuteoreemi;
Tasapinnalise jõudude süsteemi tasakaalutingimused.
Komposiitsüsteemide reaktsioonide graafilisel määramisel on soovitatav järgida järgmist. kaalumise järjekord:
Valige keha, millel on minimaalne arv algebralisi tundmatuid sidestusreaktsioone;
Kui selliseid kehasid on kaks või enam, siis alustage lahendust, võttes arvesse keha, millele rakendatakse vähem jõude;
Kui selliseid kehasid on kaks või enam, siis vali keha, mille puhul on teada suurem arv jõude suunas.
Probleemi lahendamine.
Selle jaotise probleemide lahendamisel peaksite meeles pidama kõiki varem tehtud üldisi juhiseid.
Lahendamist alustades tuleb ennekõike paika panna tasakaal, millise konkreetse kehaga antud ülesandes silmas pidada. Seejärel, isoleerides selle keha ja pidades seda vabaks, tuleks kujutada kõiki kehale mõjuvaid kõrvalejäetud sidemete etteantud jõude ja reaktsioone.
Järgmisena peaksite looma tasakaalutingimused, rakendades nende tingimuste vormi, mis viib lihtsama võrrandisüsteemini (lihtsaim süsteem on võrrandisüsteem, millest igaüks sisaldab ühte tundmatut).
Lihtsamate võrrandite saamiseks peaksite (kui see arvutamist keerulisemaks ei tee):
1) projektsioonivõrrandite koostamisel tõmmake koordinaattelg risti mõne tundmatu jõuga;
2) momendivõrrandi koostamisel on soovitav valida momendipunktiks punkt, kus ristuvad kolmest tundmatust toereaktsioonist kahe toimejooned - sellisel juhul neid võrrandisse ei arvata ja see sisaldavad ainult ühte tundmatut;
3) kui kolmest tundmatust toereaktsioonist kaks on paralleelsed, siis võrrandi koostamisel projektsioonides teljele tuleb viimane suunata nii, et see oleks risti kahe esimese reaktsiooniga - sellisel juhul sisaldab võrrand ainult viimane tundmatu;
4) ülesande lahendamisel tuleb koordinaatsüsteem valida nii, et selle teljed oleksid orienteeritud samamoodi nagu suurem osa süsteemi kehale mõjuvatest jõududest.
Momentide arvutamisel on mõnikord mugav jagada antud jõud kaheks komponendiks ja Varignoni teoreemi abil leida jõumoment nende komponentide momentide summana.
Paljude staatikaülesannete lahendamine taandub nende tugede reaktsioonide määramisele, millega talad, sillafermid jms kinnitatakse.
Näide 7. Joonisel 29 näidatud kronsteini külge A, sõlme juures IN koorem kaaluga 36 kN on riputatud. Klambri elementide ühendused on hingedega. Määrake varrastes esinevad jõud AB Ja Päike, pidades neid kaalutuks.
Lahendus. Mõelge sõlme tasakaalule IN, kus vardad kokku puutuvad AB Ja Päike. Sõlm IN tähistab punkti joonisel. Kuna koormus on sõlmest riputatud IN, siis punktis IN rakendage jõudu F, mis on võrdne rippuva koormuse massiga. Vardad VA Ja Päike, hingedega ühendatud sõlme IN, piirata mistahes lineaarse liikumise võimalust vertikaaltasandil, s.t. on ühendused sõlme suhtes IN.
Riis. 29. Klambri arvutusskeem näiteks 7:
A - kujundusskeem; b – jõudude süsteem sõlmes B
Loobuge vaimselt seostest ja asendage nende tegevus jõududega - seoste reaktsioonidega R A Ja R C. Kuna vardad on kaalutud, on nende varraste reaktsioonid (varraste jõud) suunatud piki varraste telge. Oletame, et mõlemad vardad on venitatud, s.t. nende reaktsioonid on suunatud hingelt varrastesse. Siis, kui pärast arvutamist osutub reaktsioon miinusmärgiga, tähendab see, et tegelikult on reaktsioon suunatud joonisel näidatud suunas, st. varras surutakse kokku.
Joonisel fig. 29, b on näidatud, et punktis IN rakendatud aktiivne jõud F ja ühenduste reaktsioonid R A Ja R S. On näha, et kujutatud jõudude süsteem kujutab ühes punktis koonduvate jõudude lamedat süsteemi. Valime suvalised koordinaatteljed HÄRG Ja OY ja koostage tasakaaluvõrrandid kujul:
Σ F x = 0;-R a - R c cos𝛼 = 0;
Σ F y = 0; -F - R c cos(90 - α) = 0.
Võttes arvesse, et cos (90 -α ) = pattα, leiame teisest võrrandist
Rc = -F/sinα = - 36/0,5 = -72 kN.
Väärtuse asendamine Rc esimesse võrrandisse, saame
Ra = -R c cosα= - (-72) ∙0,866 = 62,35 kN.
Seega varras AB- venitatud ja varras Päike- kokkusurutud.
Varraste leitud jõudude õigsuse kontrollimiseks projitseerime kõik jõud mis tahes teljele, mis ei ühti telgedega X Ja Y, näiteks telg U:
Σ F u = 0; -R c - R a cosα -Fcos(90- α) = 0.
Pärast varraste leitud jõudude väärtuste asendamist (mõõde kilonjuutonites) saame
- (-72) – 62,35∙0,866 - 36∙0,5 = 0; 0 = 0.
Tasakaalutingimus on täidetud, seega on varrastes leitud jõud õiged.
Näide 8. Ehitustellingute tala, mille raskust võib tähelepanuta jätta, hoiab horisontaalasendis painduva varda abil CD ja toetub ühes punktis pöördeliselt seinale A. Leidke tõukejõud CD, kui 80 kg kaaluv töötaja seisab ≈0,8 kN tellingute serval (joonis 30, A).
Riis. kolmkümmend. Tellingute konstruktsiooniskeem, näiteks 8:
A– kujundusskeem; b– tellingutele mõjuvate jõudude süsteem
Lahendus. Valime tasakaaluobjekti. Selles näites on tasakaaluobjektiks karkassi tala. Punktis IN aktiivne jõud mõjub talale F, võrdne inimese kaaluga. Ühendused on sel juhul fikseeritud tugihinge A ja veojõu CD. Loobugem mõttest ühendused, asendades nende toime talale ühenduste reaktsioonidega (joonis 30, b). Fikseeritud liigendiga toe reaktsiooni pole vaja määrata vastavalt probleemi tingimustele. Reaktsioon veojõus CD suunatud piki tõukejõudu. Oletame, et varras CD venitatud, st. reaktsioon R D suunatud hingest eemale KOOS varda sees. Murrame reaktsiooni R D, rööpküliku reegli kohaselt horisontaal- ja vertikaalkomponentideks:
R Dx mäed = R D cosα ;
R Dy vert = R D cos(90-α) = R D pattα .
Selle tulemusena saime suvalise tasapinnalise jõudude süsteemi, mille tasakaalu vajalik tingimus on kolme sõltumatu tasakaalutingimuse võrdsus nulliga.
Meie puhul on mugav kõigepealt üles kirjutada tasakaalutingimus hetkepunkti suhtes hetkede summana A, alates toetusreaktsiooni hetkest R A selle punkti suhtes on null:
Σ m A = 0; F∙3a - R dy∙ a = 0
F∙3a - R D pattα = 0.
Kolmnurgast määrame trigonomeetriliste funktsioonide väärtuse ACD:
cosα = AC/CD = 0,89,
sinα = AD/CD = 0,446.
Lahendades tasakaaluvõrrandi, saame R D = 5,38 kN. (Reisimine CD- venitatud).
Nööris oleva jõu arvutamise õigsuse kontrollimiseks CD on vaja arvutada vähemalt üks tugireaktsiooni komponentidest R A. Kasutame tasakaaluvõrrandit kujul
Σ Fy = 0; V A + R Dy- F= 0
V A = F- Rdy.
Siit V A= -1,6 kN.
Miinusmärk tähendab, et reaktsiooni vertikaalne komponent R A toel on allapoole suunatud.
Kontrollime nööris oleva jõu arvutamise õigsust. Me kasutame teist tasakaalutingimust punkti kohta momentide võrrandite kujul IN.
Σ mB = 0; V A∙3a + R Dy ∙ 2a = 0;
1,6∙3A + 5,38∙0,446∙2A = 0; 0 = 0.
Tasakaalutingimused on täidetud, seega leitakse jõud ahelas õigesti.
Näide 9. Vertikaalne betoonsammas on betoneeritud oma alumise otsaga horisontaalseks aluspinnaks. Ülevalt kandub postile hoone seinalt koorem, mis kaalub 143 kN. Sammas on valmistatud betoonist tihedusega γ = 25 kN/m 3. Samba mõõtmed on näidatud joonisel fig. 31, A. Määrake reaktsioonid jäigas kinnises.
Riis. 31. Samba arvutusskeem näiteks 9:
A– laadimisskeem ja samba mõõtmed; b- kujundusskeem
Lahendus. Selles näites on tasakaaluobjektiks sammas. Veerg on koormatud järgmist tüüpi aktiivsete koormustega: punktis A kontsentreeritud jõud F, mis on võrdne hoone seina kaaluga, ja samba enda kaal koormuse intensiivsuse kujul, mis on ühtlaselt jaotatud piki tala pikkust q iga varda pikkuse meetri kohta: q = 𝛾A, Kus A- kolonni ristlõikepindala.
q= 25∙0,51∙0,51 = 6,5 kN/m.
Ühendused selles näites on posti aluse jäik kinnitus. Loobume mõttest tihendist ja asendame selle tegevuse ühenduste reaktsioonidega (joonis 31, b).
Meie näites käsitleme erijuhtumit jõudude süsteemi toimel, mis on kinnitumisega risti ja kulgevad mööda ühte telge läbi tugireaktsioonide rakenduspunkti. Siis on kaks tugireaktsiooni: horisontaalkomponent ja reaktiivmoment on nulliga. Toereaktsiooni vertikaalse komponendi määramiseks projitseerime kõik jõud elemendi teljele. Joondame selle telje teljega Z, siis kirjutatakse tasakaalutingimus järgmisel kujul:
Σ F Z = 0; V B - F - ql = 0,
Kus ql- jaotatud koormuse tulemus.
V B = F+ql= 143 + 6,5∙4 = 169 kN.
Plussmärk näitab, et reaktsioon V B suunatud ülespoole.
Toereaktsiooni arvutamise õigsuse kontrollimiseks jääb veel üks tasakaalutingimus - kõigi jõudude momentide algebralise summana mis tahes punkti suhtes, mis ei läbi elemendi telge. Soovitame teil selle kontrolli ise läbi viia.
Näide 10. Joonisel 32 näidatud tala puhul A, on vaja kindlaks määrata tugireaktsioonid. Arvestades: F= 60 kN, q= 24 kN/m, M= 28 kN∙m.
Riis. 32. Projekteerimisskeem ja tala mõõtmed, näiteks 10:
Lahendus. Mõelge tala tasakaalule. Tala on koormatud aktiivse koormusega paralleelsete vertikaaljõudude tasapinnalise süsteemi kujul, mis koosneb kontsentreeritud jõust F, ühtlaselt jaotunud koormuse intensiivsus q koos tulemusega K, rakendatakse lastiruumi raskuskeskmesse (joonis 32, b) ja kontsentreeritud hetk M, mida saab esitada jõudude paarina.
Selle tala ühendused on hingedega fikseeritud tugi A ja liigendatud liigutatav tugi IN. Valime selleks tasakaaluobjekti, eemaldame tugiühendused ja asendame nende tegevused nendes ühendustes toimuvate reaktsioonidega (joonis 32; b). Liikuva toe reaktsioon R B on suunatud vertikaalselt ja liigend-fikseeritud toe reaktsioon R A on paralleelne mõjuvate jõudude aktiivse süsteemiga ja suunatud ka vertikaalselt. Oletame, et need on suunatud ülespoole. Jaotatud koormuse tulemus K= 4,8∙q rakendatakse lastiruumi sümmeetria keskpunktis.
Toereaktsioonide määramisel talades tuleb püüda konstrueerida tasakaaluvõrrandeid nii, et igaüks neist sisaldaks ainult ühte tundmatut. Seda on võimalik saavutada, konstrueerides võrdluspunktide kohta kaks momentvõrrandit. Toetusreaktsioone kontrollitakse tavaliselt võrrandi koostamise teel kõigi jõudude projektsioonide summana elemendi teljega risti olevale teljele.
Aktsepteerigem tinglikult positiivseks toereaktsioonide momentide pöörlemissuunda ümber momendipunktide, siis loetakse jõudude vastupidine pöörlemissuund negatiivseks.
Tasakaalu vajalik ja piisav tingimus on sel juhul sõltumatute tasakaalutingimuste võrdsus nulliga kujul:
Σ m A = 0; V B ∙6 - q∙4,8∙4,8 + M+F∙2,4 = 0;
Σ m B = 0; V A∙6 - q∙4,8∙1,2 - M - F∙8,4 = 0.
Asendades koguste arvväärtused, leiame
V B= 14,4 kN, V A= 15,6 kN.
Leitud reaktsioonide õigsuse kontrollimiseks kasutame tasakaalutingimust kujul:
Σ Fy = 0; V A + V B - F -q∙4,8 =0.
Pärast arvväärtuste asendamist selles võrrandis saame identiteedi tüüpi 0=0. Siit järeldame, et arvutus viidi läbi õigesti ja mõlema toe reaktsioonid on suunatud ülespoole.
Näide 11. Määrake joonisel 33 näidatud tala tugireaktsioonid, A. Arvestades: F= 2,4 kN, M= 12 kN∙m, q= 0,6 kN/m, a = 60°.
Riis. 33. Projekteerimisskeem ja tala mõõtmed, näiteks 11:
a – kujundusskeem; b – tasakaalu objekt
Lahendus. Mõelge tala tasakaalule. Vabastage tala vaimselt tugede ühendustest ja valige tasakaalu objekt (joonis 33, b). Tala on koormatud aktiivse koormusega suvalise tasapinnalise jõudude süsteemi kujul. Jaotatud koormuse tulemus K = q∙3 on kinnitatud lastiruumi sümmeetriakeskme külge. Tugevus F Jagame rööpküliku rööpküliku reegli järgi komponentideks - horisontaalseks ja vertikaalseks.
F z = F cosα= 2,4 cos 60°= 1,2 kN;
F y =F cos(90-α) = F patt 60°= 2,08 kN.
Tasakaaluobjektile rakendame reaktsioone, mitte hüljatud ühenduste asemel. Oletame, et vertikaalne reaktsioon V A liigendatud tugi Aülespoole suunatud vertikaalne reaktsioon V B liigendatud fikseeritud tugi B on samuti suunatud ülespoole ja horisontaalne reaktsioon H B- paremale.
Seega on joonisel fig. 33, b kujutab suvalist tasapinnalist jõudude süsteemi, mille tasakaalu vajalik tingimus on tasapinnalise jõudude süsteemi kolme sõltumatu tasakaalutingimuse võrdsus nulliga. Tuletame meelde, et Varignoni teoreemi kohaselt on jõumoment F mis tahes punkti suhtes on võrdne komponentide momentide summaga F z ja F y sama punkti suhtes. Tugireaktsioonide momentide pöörlemissuunda momendipunktide ümber tinglikult aktsepteerime positiivseks, siis loetakse jõudude vastupidine pöörlemissuund negatiivseks.
Siis on mugav sõnastada tasakaalutingimused järgmisel kujul:
Σ Fz = 0; - F z + H B= 0; siit H B= 1,2 kN;
Σ m A = 0; V B∙6 + M - Fy∙2 + 3q∙0,5 = 0; siit V B= -1,456 kN;
Σ m B = 0; V A ∙6 - 3q∙6,5 - Fy ∙4 - M= 0; siit V A= 5,336 kN.
Arvutatud reaktsioonide õigsuse kontrollimiseks kasutame veel üht tasakaalutingimust, mida ei kasutatud, näiteks:
Σ Fy = 0; V A + V B - 3q - Fy = 0.
Vertikaalne tugireaktsioon V B osutus miinusmärgiga, see näitab, et selles kiires pole see suunatud mitte üles, vaid alla.
Näide 12. Määrake ühele küljele jäigalt kinnitatud tala tugireaktsioonid, mis on näidatud joonisel fig. 34, A. Arvestades: q=20 kN/m.
Riis. 34. Projekteerimisskeem ja tala mõõtmed, näiteks 12:
a – kujundusskeem; b – tasakaalu objekt
Lahendus. Valime tasakaaluobjekti. Tala on koormatud aktiivse koormusega vertikaalselt paiknevate paralleelsete jõudude tasapinnalise süsteemi kujul. Vabastage tala vaimselt kinnises olevatest ühendustest ja asendage need reaktsioonidega kontsentreeritud jõu kujul V B ja jõudude paarid soovitud reaktiivmomendiga M B(vt joonis 34, b). Kuna aktiivsed jõud toimivad ainult vertikaalsuunas, siis horisontaalne reaktsioon H B võrdne nulliga. Võtkem tinglikult positiivseks toereaktsioonide momentide pöörlemissuund ümber momendipunktide päripäeva, siis loetakse jõudude vastupidine pöörlemissuund negatiivseks.
Koostame tasakaalutingimused vormis
Σ Fy = 0; V B- q∙1,6 = 0;
Σ m B = 0; M B - q∙1,6∙1,2 = 0.
Siin q∙1,6 – jaotatud koormuse resultant.
Jaotatud koormuse arvväärtuste asendamine q, leiame
V V= 32 kN, M B= 38,4 kN∙m.
Leitud reaktsioonide õigsuse kontrollimiseks loome veel ühe tasakaalutingimuse. Nüüd võtame momendipunktiks mõne muu punkti, näiteks kiire parema otsa, siis:
Σ m A = 0; M B – V B∙2 + q∙1,6∙0,8 = 0 .
Pärast arvväärtuste asendamist saame identiteediks 0=0.
Lõpuks järeldame, et tugireaktsioonid leiti õigesti. Vertikaalne reaktsioon V B on suunatud ülespoole ja reaktiivne pöördemoment M V- päripäeva.
Näide 13. Määrake tala toetusreaktsioonid (joon. 35, A).
Lahendus. Aktiivne koormus on jaotatud koormuse resultant K=(1/2)∙aq=(1/2)∙3∙2=3kN, mille toimejoon läbib 1 m kaugusel vasakpoolsest toest, keerme tõmbejõud T = R= 2 kN, mis rakendatakse tala paremasse otsa ja kontsentreeritud moment.
Kuna viimast saab asendada vertikaalsete jõudude paariga, siis talale mõjuv koormus koos liikuva toe reaktsiooniga IN moodustab paralleelsete jõudude süsteemi, seega reaktsioon R A suunatakse ka vertikaalselt (joonis 35, b).
Nende reaktsioonide määramiseks kasutame tasakaaluvõrrandeid.
Σ M A = 0; -K∙1 + R B∙3 - M + T∙5 = 0,
R B = (1/3) (K + M-R∙5) = (1/3) (3 + 4 - 2∙5) = -1 kN.
Σ M B = 0; - R A∙3 +K∙2 - M+ T∙2 = 0,
R A= (1/3) (K∙2 - M+R∙2) = (1/3) (3,2 - 4 + 2,2) = 2 kN.
Joon.35
Saadud lahenduse õigsuse kontrollimiseks kasutame täiendavat tasakaaluvõrrandit:
Σ Y i = R A - K + R B+T = 2 - 3 - 1 + 2 = 0,
see tähendab, et probleem lahendati õigesti.
Näide 14. Leidke jaotatud koormusega koormatud konsooltala toetusreaktsioonid (joon. 36, A).
Lahendus. Jaotatud koormuse resultant rakendatakse koormusdiagrammi raskuskeskmele. Et mitte otsida trapetsi raskuskeskme asukohta, kujutleme seda kahe kolmnurga summana. Siis on antud koormus võrdne kahe jõuga: K 1 = (1/2)∙3∙2 = 3 kN ja K 2 = (1/2)∙3∙4 = 6 kN, mis rakendatakse iga kolmnurga raskuskeskmesse (joonis 36, b).
Joonis 36
Jäigad muljumise tugireaktsioonid on esindatud jõuga R A ja hetk M A, et teha kindlaks, milline on mugavam kasutada paralleelsete jõudude süsteemi tasakaaluvõrrandeid, see tähendab:
Σ M A = 0; M A= 15 kN∙m;
Σ Y= 0, R A= 9 kN.
Kontrollimiseks kasutame lisavõrrandit Σ M V= 0, kus punkt IN asub tala paremas otsas:
Σ M V = M A - R A∙3 + K 1 ∙2 + K 2 ∙1 = 15 - 27 + 6 +6 = 0.
Näide 15. Homogeenne tala kaalumine K= 600 N ja pikkus l= 4 m toetub ühest otsast siledale põrandale ja vahepealsesse punkti IN masti kõrguse kohta h= 3 m, moodustades vertikaaliga 30° nurga. Selles asendis hoiab tala üle põranda venitatud köis. Määrake trossi pinge T ja kolonni reaktsioonid - R B ja sugu - R A(Joonis 37, A).
Lahendus. Teoreetilises mehaanikas mõistetakse tala või varda all keha, mille ristmõõtmed võib selle pikkusega võrreldes tähelepanuta jätta. Seega kaal K punkti rakendatakse homogeenset kiirt KOOS, Kus AC= 2 m.
Joonis 37
1) Kuna punktis rakendatakse kolmest tundmatust reaktsioonist kaks A, esimene samm on võrrandi Σ loomine M A= 0, kuna sinna läheb ainult reaktsioon R B:
- R B∙AB+K∙(l/2)∙sin30° = 0,
Kus AB = h/cos30°= 2 m.
Asendades võrrandi, saame:
R B∙2 = 600∙2∙(1/2) = 600,
R B= 600/ (2) = 100 ≅ 173 N.
Samamoodi võib hetkevõrrandist leida reaktsiooni R A, valides hetkepunktiks punkti, kus tegevusjooned ristuvad R B Ja T. See nõuab aga täiendavaid konstruktsioone, seega on lihtsam kasutada teisi tasakaaluvõrrandeid:
2) Σ X = 0; R B∙cos30° - T = 0; → T = R B∙cos30° = 100 ∙( /2) = 150 N;
3) Σ Y= 0, R B∙sin30°- K +R A= 0; → R A = K- R B∙sin30°= 600–50 ≅ 513 N.
Nii leidsime T Ja R A läbi R B, seega saate saadud lahenduse õigsust kontrollida võrrandi abil: Σ M B= 0, mis hõlmab kõiki leitud reaktsioone, kas otseselt või kaudselt:
R A∙AB sin30°- T∙AB cos30° - K∙(AB - l/2)∙sin30°= 513∙2 ∙(1/2) – 150∙2∙( /2) – 600∙ (2 – 2)∙(1/2) = 513∙ – 150∙3 – 600∙( -1) ≅ 513 ∙ 1,73 - 450 - 600 ∙ 0,73 = 887,5 - 888 = -0,5.
Saadud ümardamise tulemusena jääk∆= -0,5 kutsutakse absoluutne viga arvutused.
Selleks, et vastata küsimusele, kui täpne on saadud tulemus, arvutage suhteline viga, mis määratakse järgmise valemiga:
ε=[|∆| / min(|Σ + |, |Σ - |)]∙100% =[|-0,5| / min(|887,5|, |-888|)]∙100% = (0,5/887,5)∙100% = 0,06%.
Näide 16. Määrake raami tugireaktsioonid (joonis 38). Siin ja edaspidi, kui pole öeldud teisiti, arvestatakse kõiki joonistel olevaid mõõtmeid meetrites ja jõude kilonewtonites.
Joonis 38
Lahendus. Vaatleme aktiivse jõuna raami tasakaalu, millele rakendatakse keerme tõmbejõudu T, võrdne koorma kaaluga K.
1) Liigutatava toe reaktsioon R B leiame võrrandist Σ M A= 0. Et mitte arvutada jõu võimendust T, kasutame Varignoni teoreemi, jagades selle jõu horisontaal- ja vertikaalkomponentideks:
R B∙2 + T sin30°∙3 - T cos30°∙4 = 0; → R B = (1/2)∙ K(cos30°∙4 - sin30°∙3) = (5/4) ∙ (4 - 3) kN.
2) Arvutama Y A loome võrrandi Σ M C= 0, kus punkt KOOS asub reaktsiooni tegevusjoonte ristumiskohas R B Ja X A:
- Y A∙2 + T sin30°∙3 - T cos30°∙2 = 0; → Y A= (1/2)∙ K(sin30°∙3 -cos30°∙2) = (5/4) ∙ (3 -2) kN.
3) Lõpuks leiame reaktsiooni X A:
Σ X = 0; X A - T sin30° = 0; → X A =K sin30° = 5/2 kN.
Kuna kõik kolm reaktsiooni leiti üksteisest sõltumatult, peate kontrollimiseks võtma võrrandi, mis hõlmab neid kõiki:
Σ M D = X A∙3 - Y A∙4 - R B∙2 = 15/2 - 5∙(3 -2 ) - (5/2)∙ (4 - 3) = 15/2 - 15 + 10 -10 +15/2 = 0.
Näide 17. Määrake katkise kontuuriga varda tugireaktsioonid (joonis 39, A).
Lahendus. Asendame jaotatud koormuse varda igale sektsioonile kontsentreeritud jõududega K 1 = 5 kN ja K 2 = 3 kN ja tagasilükatud jäiga pigistamise toime on reaktsioonid X A,Y A Ja M A(Joonis 39, b).
Joonis 39
1) Σ M A = 0; M A -K 1 ∙2,5 - K 2 ∙5,5 = 0; → M A= 5∙2,5 + 3∙5,5 = 12,5 + 16,5 = 29 kNm.
2) Σ X = 0; X A + K 1 ∙sina = 0; → X A= -5∙(3/5) = -3 kN.
3) Σ Y= 0; Y A - K 1 cosa - K 2 = 0; →Y A= 5∙(4/5) + 3 = 4 + 3 = 7 kN, kuna sinα = 3/5, cosα = 4/5.
Kontrollige: Σ M V = 0; M A + X A∙3 - Y A∙7 +K 1 cosα∙4,5 + K 1 sinα∙1,5 + K 2 ∙1,5 = 29 -3∙3 - 7∙7 + 5∙(4/5)∙5 + 5∙(3/5)∙1,5 + 3∙1,5 = 29 - 9 - 49 + 20 + 4,5 + 4,5 = 58 - 58 = 0.
Näide 18. Joonisel 40 näidatud raami puhul A, on vaja määrata tugireaktsioonid. Arvestades: F= 50 kN, M= 60 kN∙m, q= 20 kN/m.
Lahendus. Vaatleme kaadri tasakaalu. Vabastage raam vaimselt tugede ühendustest (joonis 40, b) ja valige tasakaaluobjekt. Raam on koormatud aktiivse koormusega suvalise tasapinnalise jõudude süsteemi kujul. Kasutuselt kõrvaldatud ühenduste asemel rakendame reaktsioone tasakaaluobjektile: hingedega kinnitatud toele A- vertikaalne V A ja horisontaalne H A, ja liigendatud liikuval toel IN- vertikaalne reaktsioon V B Reaktsioonide eeldatav suund on näidatud joonisel 40, b.
Joonis 40. Raami ja tasakaaluobjekti kujundusskeem, näiteks 18:
A– kujundusskeem; b- tasakaalu objekt
Loome järgmised tasakaalutingimused:
Σ Fx = 0; -H A + F = 0; H A= 50 kN.
Σ m A = 0; V B∙6 + M - q∙6∙3 - F∙6 = 0; V B= 100 kN.
Σ Fy = 0; V A + V B - q∙6 = 0; V A= 20 kN.
Siin peetakse pöörlemissuunda ümber momendipunktide vastupäeva tinglikult positiivseks.
Reaktsioonide arvutamise õigsuse kontrollimiseks kasutame tasakaalutingimust, mis hõlmaks kõiki tugireaktsioone, näiteks:
Σ m C = 0; V B∙3 + M – H A∙6 – V A∙3 = 0.
Pärast arvväärtuste asendamist saame identiteediks 0=0.
Seega on tugireaktsioonide suunad ja suurused õigesti määratud.
Näide 19. Määrake raami tugireaktsioonid (joonis 41, A).
Joonis 41
Lahendus. Nagu eelmises näites, koosneb raam kahest võtmehingega ühendatud osast KOOS. Asendame raami vasakule küljele rakendatud jaotatud koormuse resultaadiga K 1 ja paremal - resultant K 2 kus K 1 = K 2 = 2 kN.
1) Leidke reaktsioon R B võrrandist Σ M C (Päike) = 0; → R B= 1 kN;
Tehnilistes arvutustes kohtab sageli koormusi, mis jaotuvad piki antud pinda ühe või teise seaduse järgi. Vaatleme mõnda lihtsat näidet samal tasapinnal asuvate jaotatud jõudude kohta.
Jaotatud jõudude tasapinnalist süsteemi iseloomustab selle intensiivsus q, st jõu väärtus koormatud segmendi pikkuseühiku kohta. Intensiivsust mõõdetakse njuutonites jagatuna meetritega
1) Jõud, mis on ühtlaselt jaotatud piki sirgjoonelist lõiku (joonis 69, a). Sellise jõudude süsteemi puhul on intensiivsusel q konstantne väärtus. Staatilistes arvutustes saab selle jõudude süsteemi asendada resultandiga
Modulo,
Lõigu AB keskel rakendatakse jõudu Q.
2) Jõud, mis on jaotatud piki sirgjoonelist lõiku vastavalt lineaarseadusele (joonis 69, b). Sellise koormuse näiteks on paisule mõjuv veesurve jõud, mis on suurim põhjas ja langeb veepinnal nullini. Nende jõudude puhul on intensiivsus q muutuja suurus, mis kasvab nullist maksimaalse väärtuseni. Selliste jõudude resultant Q määratakse sarnaselt homogeensele kolmnurksele plaadile ABC mõjuvate gravitatsioonijõudude resultantiga. Kuna homogeense plaadi kaal on võrdeline selle pindalaga, siis moodul
Jõudu Q rakendatakse kaugusel kolmnurga ABC küljest BC (vt § 35, lõige 2).
3) Jõud, mis jagunevad piki sirgjoonelist lõiku meelevaldse seaduse järgi (joon. 69, c). Selliste jõudude resultant Q on analoogselt raskusjõuga suuruselt võrdne joonise ABDE pindalaga, mõõdetuna vastaval skaalal ja läbib selle ala raskuskeskme (määramise küsimus). alade tõmbekeskusi käsitletakse § 33).
4) Ringjoonel ühtlaselt jaotunud jõud (joonis 70). Selliste jõudude näide on hüdrostaatilise rõhu jõud silindrilise anuma külgseintele.
Olgu kaare raadius võrdne , kus on sümmeetriatelg, mida mööda me telje suuname Kaarele mõjuvate koonduvate jõudude süsteemil on resultantne Q, mis on suunatud sümmeetria tõttu piki telge ja arvuliselt.
Q väärtuse määramiseks valime kaarel elemendi, mille asukoha määrab nurk ja sellele elemendile mõjuva jõu pikkus on arvuliselt võrdne ning selle jõu projektsioon teljele on siis
Kuid jooniselt fig. 70 on selge, et Seetõttu alates sellest ajast
kus on kaare AB all oleva kõõlu pikkus; q - intensiivsus.
Ülesanne 27. Konsooltalale A B mõjub ühtlaselt jaotatud intensiivsuskoormus, mille mõõtmed on näidatud joonisel (Joonis 71 Jättes tähelepanuta tala raskuse ja eeldades, et surujõud surutud otsale on määratud vastavalt). lineaarse seaduse järgi määrake nende jõudude suurimate intensiivsuste väärtused, kui
Lahendus. Asendame jaotatud jõud nende resultantidega Q, R ja R, kus vastavalt valemitele (35) ja (36)
ja koostada tasakaalutingimused (33) talale mõjuvate paralleeljõudude jaoks
Asendades siin Q, R ja R asemel nende väärtused ja lahendades saadud võrrandid, leiame lõpuks
Näiteks millal me saame ja millal
Ülesanne 28. Silindrikujuline silinder, mille kõrgus on H ja siseläbimõõt on d, täidetakse rõhu all oleva gaasiga. Ballooni silindriliste seinte paksus on a. Määrake nende seinte tõmbepinged järgmistes suundades: 1) piki- ja 2) põiki (pinge võrdub tõmbejõu ja ristlõikepindala suhtega), pidades seda väikeseks.
Lahendus. 1) Lõikame silindri kaheks osaks selle teljega risti oleva tasapinna võrra ja arvestame neist ühe tasakaaluga (joon.
72, a). Sellele mõjub silindri telje suunas survejõud põhjale ja ristlõikepinnale jaotunud jõud (väljavisatud poole toime), mille resultant tähistatakse Q-ga. Tasakaalus
Eeldades, et ristlõike pindala on ligikaudu võrdne, saame tõmbepinge väärtuse
Pingete jaotus tasapinnalise probleemi korral
See juhtum vastab pingeseisundile seina vundamentide, tugiseinte, muldkehade ja muude konstruktsioonide all, mille pikkus ületab oluliselt nende põikimõõtmeid:
Kus l– vundamendi pikkus; b– vundamendi laius. Sel juhul iseloomustab pingejaotus konstruktsiooni mis tahes osa all, mis on identifitseeritud kahe paralleelse konstruktsiooni teljega risti asetseva lõiguga, pingeseisundit kogu konstruktsiooni all ega sõltu koormatud tasandi suunaga risti olevatest koordinaatidest.
Vaatleme lineaarse koormuse mõju kontsentreeritud jõudude pideva jada kujul R, millest igaüks on pikkuseühiku kohta. Sel juhul stressi komponendid mis tahes punktis M koordinaatidega R ja b võib leida analoogia põhjal ruumiprobleemiga:
(3.27)
Kui vaadeldavate punktide geomeetriliste karakteristikute vahelised seosed z, y, b esinevad mõjukoefitsientide kujul K, siis saab pingete valemid kirjutada järgmiselt:
(3.28)
Mõjuteguri väärtused K z,K y,K yz tabelina sõltuvalt suhtelistest koordinaatidest z/b, y/b(II lisa tabel II.3).
Tasapinna probleemi oluliseks omaduseks on pingekomponendid t ja s y vaadeldavas lennukis z 0y ei sõltu põikpaisumise koefitsiendist n 0, nagu ruumiülesande puhul.
|
Joon.3.15. Juhuslik jaotus
ribalaiuse koormused b
Kui koormus ulatub punktist välja A(b=b 2) punktini B(b=b 1), siis selle üksikute elementide pingeid summeerides saame pideva ribataolise koormuse toimel pingete avaldised massiivi mis tahes punktis.
(3.29)
Ühtlaselt jaotatud koormuse jaoks integreerige ülaltoodud avaldised at Py = P= konst. Sel juhul on põhisuunad, s.o. suundadeks, milles suurimad ja väikseimad normaalpinged mõjuvad, on suunad, mis paiknevad piki “nähtamisnurkade” poolitajat ja on nendega risti (joonis 3.16). Nähtavusnurk a on nurk, mille moodustavad kõnealust punkti ühendavad sirged M ribakoorma servadega.
Põhipingete väärtused saame avaldistest (3.27), eeldades, et nendes on b=0:
. (3.30)
Neid valemeid kasutatakse sageli konstruktsioonide vundamentide pingeseisundi (eriti piirseisundi) hindamisel.
Kasutades põhipingete väärtusi pooltelgedena, on võimalik konstrueerida pingeellipsi, mis iseloomustavad visuaalselt pinnase pingeseisundit piki riba ühtlaselt jaotunud koormuse korral. Pingeellipside jaotus (asukoht) lokaalse ühtlaselt jaotunud koormuse mõjul tasapinnalise ülesande tingimustes on näidatud joonisel 3.17.
Joon.3.17. Pinge-ellipsid ühtlaselt jaotunud koormuse mõjul tasapinnalise probleemi tingimustes
Kasutades valemeid (3.28) saame määrata s z, s y Ja t yz lõigu kõigis punktides, mis on risti koormuse pikiteljega. Kui ühendame punktid, mille kõigi nende suuruste väärtus on sama, saame võrdse pingega read. Joonisel 3.18 on kujutatud identsete vertikaalsete pingete jooni s z, mida nimetatakse isobaarideks, horisontaalsed pinged s y, mida nimetatakse tõukejõuks ja tangentsiaalseteks pingeteks t zx, mida nimetatakse vahetusteks.
Need kõverad koostas D.E. Polshin, kasutades elastsuse teooria meetodeid koormuse jaoks, mis on ühtlaselt jaotatud laiusele b, mis ulatub lõputult joonisega risti olevas suunas. Kõverad näitavad, et survepingete mõju s z intensiivsus 0,1 väliskoormus R mõjutab umbes 6 sügavust b, samas kui horisontaalsed pinged s y ja puutujad t levivad sama intensiivsusega 0,1 R palju madalamale sügavusele (1,5–2,0) b. Võrdsete pingetega kõverjoonelistel pindadel on ruumiprobleemi korral sarnased piirjooned.
Joon.3.18. Võrdse pingega jooned lineaarselt deformeeritavas massis:
ja eest s z(isobaarid); b – s jaoks y(levik); sisse – eest t(nihe)
Koormatud riba laiuse mõju mõjutab pinge levimise sügavust. Näiteks 1 m laiuse vundamendi puhul, mis edastab alusele intensiivsusega koormuse R, pinge 0,1 R on alusest 6 m sügavusel ja 2 m laiuse vundamendi puhul sama koormuse intensiivsusega 12 m sügavusel (joonis 3.19). Kui aluskihtides on nõrgemad pinnased, võib see oluliselt mõjutada konstruktsiooni deformatsiooni.
Joon.3.21. Survepingete jaotumise skeemid pinnase massi vertikaalsetel lõikudel kolmnurkse koormuse mõjul
II lisa tabelis II.4 on toodud koefitsiendi sõltuvused TO| z sõltuvalt z/b Ja y/b(joonis 3.21) s z arvutamiseks valemiga:
s z = TO| z × R.
Kontsentreeritud koormuste vaheline kaugus on sama ja kaugus ulatuse algusest esimese kontsentreeritud koormuseni on võrdne kontsentreeritud koormuste vahelise kaugusega. Sel juhul langevad kontsentreeritud koormused ka ava algusesse ja lõppu, kuid samas põhjustavad need ainult toetusreaktsiooni suurenemist äärmuslikud kontsentreeritud koormused ei mõjuta mingil moel paindemomentide ja läbipainde väärtust ning seetõttu ei võeta konstruktsiooni kandevõime arvutamisel arvesse. Vaatleme seda sillusele toetuvate põrandatalade näitel. Telliskivi, mis võib asuda silluse ja põrandatalade vahel ning tekitada ühtlaselt jaotunud koormuse, ei ole tajumise hõlbustamiseks näidatud.
1. pilt. Kontsentreeritud koormuse vähendamine samaväärseks ühtlaselt jaotatud koormuseks.
Nagu on näha jooniselt 1, on määravaks momendiks paindemoment, mida kasutatakse konstruktsioonide tugevusarvutustes. Seega selleks, et ühtlaselt jaotunud koormus tekitaks sama paindemomendi kui kontsentreeritud koormus, tuleb see korrutada sobiva üleminekuteguriga (ekvivalentsustegur). Ja see koefitsient määratakse hetkede võrdsuse tingimustest. Arvan, et joonis 1 illustreerib seda väga hästi. Ja analüüsides saadud sõltuvusi, saate tuletada üldise valemi üleminekukoefitsiendi määramiseks. Seega, kui rakendatud kontsentreeritud koormuste arv on paaritu, st. üks kontsentreeritud koormustest langeb tingimata ulatuse keskele, siis saate ekvivalentsuskoefitsiendi määramiseks kasutada valemit:
γ = n/(n - 1) (305.1.1)
kus n on kontsentreeritud koormuste vahede arv.
q eq = γ(n-1)Q/l (305.1.2)
kus (n-1) on kontsentreeritud koormuste arv.
Kuid mõnikord on mugavam teha arvutusi kontsentreeritud koormuste arvu põhjal. Kui seda suurust väljendatakse muutujaga m, siis
γ = (m + 1)/m (305.1.3)
Sel juhul on ekvivalentne ühtlaselt jaotatud koormus võrdne:
q eq = γmQ/l (305.1.4)
Kui kontsentreeritud koormuste arv on ühtlane, s.o. ükski kontsentreeritud koormustest ei lange vahemiku keskele, siis võib koefitsiendi väärtuseks võtta järgmise kontsentreeritud koormuste arvu paaritu väärtuse. Üldiselt võib kindlaksmääratud koormustingimustel aktsepteerida järgmisi üleminekukoefitsiente:
γ = 2- kui vaadeldav konstruktsioon saab näiteks tala ainult ühe kontsentreeritud koormuse silluse keskel.
γ = 1,33- 2 või 3 kontsentreeritud koormusega tala jaoks;
γ = 1,2- 4 või 5 kontsentreeritud koormusega tala jaoks;
γ = 1,142- 6 või 7 kontsentreeritud koormusega tala jaoks;
γ = 1,11- 8 või 9 kontsentreeritud koormusega tala jaoks.
Kontsentreeritud koormuste vaheline kaugus on sama, kusjuures kaugus ulatuse algusest esimese kontsentreeritud koormuseni on võrdne poolega kontsentreeritud koormuste vahelisest kaugusest. Sel juhul ei lange kontsentreeritud koormused vahemiku algusesse ja lõppu.
Joonis 2. Kontsentreeritud koormuse rakendamise variandi 2 üleminekukoefitsientide väärtused.
Nagu jooniselt 2 näha, on selle laadimisvaliku korral üleminekukoefitsiendi väärtus oluliselt väiksem. Näiteks paarisarvu kontsentreeritud koormuste korral võib üleminekukoefitsiendi üldiselt võtta võrdseks ühtsusega. Paaritu arvu kontsentreeritud koormuste korral saab ekvivalentsuskoefitsiendi määramiseks kasutada valemit:
γ = (m +7)/(m +6) (305.2.1)
kus m on kontsentreeritud koormuste arv.
Sel juhul on ekvivalentne ühtlaselt jaotatud koormus ikkagi võrdne:
q eq = γmQ/l (305.1.4)
Üldiselt võib kindlaksmääratud koormustingimustel aktsepteerida järgmisi üleminekukoefitsiente:
γ = 2- kui vaadeldav konstruktsioon saab näiteks ainult ühe kontsentreeritud koormuse silluse keskel ja kas põrandatalad langevad sildeava algusesse või lõppu või asuvad silde algusest ja lõpust meelevaldselt kaugel, sel juhul pole vahet. Ja see on kontsentreeritud koormuse määramisel oluline.
γ = 1- kui kõnealune konstruktsioon on paarisarvulise koormusega.
γ = 1,11- 3 kontsentreeritud koormusele alluvale talale;
γ = 1,091- 5 kontsentreeritud koormusele alluvale talale;
γ = 1,076- 7 kontsentreeritud koormusele alluvale talale;
γ = 1,067- 9 kontsentreeritud koormusega tala jaoks.
Vaatamata mõnele keerulisele määratlusele on ekvivalentsuskoefitsiendid väga lihtsad ja mugavad. Kuna arvutuste tegemisel on väga sageli teada ruutmeetrile või lineaarmeetrile mõjuv jaotatud koormus, piisab, kui jaotatud koormust ei teisendaks esmalt kontsentreeritud koormuseks ja seejärel samaväärseks jaotatud koormuseks, piisab, kui korrutada jaotatud koormus lihtsalt jaotatud koormus vastava koefitsiendiga. Näiteks laele rakendub standardne jaotatud koormus 400 kg/m2, samas kui lae omakaal on veel 300 kg/m2. Siis võiks 6 m põrandatala pikkusega sillusele mõjuda ühtlaselt jaotunud koormus q = 6(400 + 300)/2 = 2100 kg/m. Ja siis, kui ava keskel on ainult üks põrandatala, siis γ = 2 ja
q eq = γq = 2q (305.2.2)
Kui ükski kahest ülaltoodud tingimusest ei ole täidetud, on võimatu kasutada üleminekukoefitsiente nende puhtal kujul, peate lisama paar täiendavat koefitsienti, mis võtavad arvesse kaugust taladest, mis ei lange alguses ja lõpus; silluse ulatus, samuti kontsentreeritud koormuste rakendamise võimalik asümmeetria. Põhimõtteliselt on selliseid koefitsiente võimalik tuletada, kuid igal juhul on need vähendavad kõigil juhtudel, kui arvestada 1. koormusjuhtumit ja 50% juhtudest, kui arvestada 2. koormuse juhtumit, s.o. selliste koefitsientide väärtused on< 1. А потому для упрощения расчетов, а заодно и для большего запаса по прочности рассчитываемой конструкции вполне хватит коэффициентов, приведенных при первых двух вариантах загружения.
Praktiliste ülesannete lahendamisel ei saa alati eeldada, et kehale mõjuv jõud rakendub ühes punktis. Sageli rakendatakse jõudu kogu kehapiirkonnale (näiteks lumekoormus, tuul jne). Sellist koormust nimetatakse jaotatud. Ühtlaselt jaotunud koormust iseloomustab intensiivsus q (joonis 1.29). Intensiivsus on kogukoormus konstruktsiooni pikkuseühiku kohta.
F x = Fcos (60), F y = Fcos (30)
Selle võrrandi lahendamisel saame:
Võrrandist (2) leiame:
F х = 0; R ax = 0;
Praktiliste ülesannete lahendamisel ei saa alati eeldada, et kehale mõjuv jõud rakendub ühes punktis. Sageli rakendatakse jõudu kogu kehapiirkonnale (näiteks lumekoormus, tuul jne). Sellist koormust nimetatakse jaotatud. Ühtlaselt jaotunud koormust iseloomustab intensiivsus q (joonis 1.29). Intensiivsus on kogukoormus konstruktsiooni pikkuseühiku kohta.
Lahendus.
Kasutame sama plaani, mida kasutati koonduva jõudude süsteemi probleemide lahendamiseks. Tasakaaluobjektiks on kogu tala, mille koormus on näidatud joonisel. Loobume ühendused - hinged A ja B. Jagame fikseeritud hinge A reaktsiooni kaheks komponendiks -
, ja liigutatava hinge B reaktsioon on suunatud tugitasandiga risti. Seega mõjub talale tasapinnaline suvaline jõudude süsteem, mille jaoks saab koostada kolm tasakaaluvõrrandit. Valime koordinaatteljed ja koostame need võrrandid. Projektsioonivõrrandid:
1. F kx = 0; R ax -Fcos(60) = 0;
2. F ky = 0; R ray + R B - Fcos(30) = 0;
(paar ei sisaldu projektsioonivõrrandis, kuna paari jõudude projektsioonide summa mis tahes teljel on null). Momendivõrrandi koostame punkti A suhtes, kuna selles ristuvad kaks tundmatut jõudu. Paari hetke leidmisel punkti A suhtes peame meeles, et paari jõudude momentide summa mis tahes punkti suhtes on võrdne paari hetkega ja hetke märk on positiivne, kuna paar kipub keha vastupäeva pöörama. Jõumomendi leidmiseks
F x = Fcos (60), F y = Fcos (30)
Seda on mugav jaotada vertikaalseteks ja horisontaalseteks komponentideks: punkti A suhtes on null, kuna selle tegevusliin läbib seda punkti. Siis saab hetkevõrrand järgmise kuju:
; R sisse. 3-F B cos(30)2 + M = 0.
Selle võrrandi lahendamisel saame:
Võrrandist (2) leiame:
R ray = Fcos(30) - R B = 20,867 - 4 = -2,67 kN,
ja võrrandist (1) R ax = Fcos(60) = 20,5 = 1 kN.
Lahendus.
F х = 0; R ax = 0;
Asendame ühtlaselt jaotunud koormuse selle resultantiga Q = 3q = 310 = 30 kN. Seda rakendatakse vahemiku keskel, st kaugusel AC = 1,5 m. Arvestame tala AB tasakaalu. Loobume ühendusest – jäigast ühendusest – ja rakendame selle asemel reaktsiooni kaks komponenti R ax ja R y ning reaktiivmomenti M a. Talale hakkab mõjuma tasane suvaline jõudude süsteem, mille jaoks saab koostada kolm tasakaaluvõrrandit, millest saab leida vajalikud tundmatud.
F ku = 0; Ray - Q = 0; Ray = Q = 30 kN;
Pingete jaotus tasapinnalise probleemi korral
See juhtum vastab pingeseisundile seina vundamentide, tugiseinte, muldkehade ja muude konstruktsioonide all, mille pikkus ületab oluliselt nende põikimõõtmeid:
M a (F k) = 0; Ma - 1,5Q = 0; M a = 1,5Q = 1,530 = 45 kHm. l– vundamendi pikkus; b– vundamendi laius. Sel juhul iseloomustab pingejaotus konstruktsiooni mis tahes osa all, mis on identifitseeritud kahe paralleelse konstruktsiooni teljega risti asetseva lõiguga, pingeseisundit kogu konstruktsiooni all ega sõltu koormatud tasandi suunaga risti olevatest koordinaatidest.
Vaatleme lineaarse koormuse mõju kontsentreeritud jõudude pideva jada kujul R, millest igaüks on pikkuseühiku kohta. Sel juhul stressi komponendid mis tahes punktis M koordinaatidega R ja b võib leida analoogia põhjal ruumiprobleemiga:
Kui vaadeldavate punktide geomeetriliste karakteristikute vahelised seosed z, y, b esinevad mõjukoefitsientide kujul K, siis saab pingete valemid kirjutada järgmiselt:
Mõjuteguri väärtused K z,K y,K yz tabelina sõltuvalt suhtelistest koordinaatidest z/b, y/b(II lisa tabel II.3).
Tasapinna probleemi oluliseks omaduseks on pingekomponendid t ja s y vaadeldavas lennukis z 0y ei sõltu põikpaisumise koefitsiendist n 0, nagu ruumiülesande puhul.
|
Joon.3.15. Juhuslik jaotus
ribalaiuse koormused b
Kui koormus ulatub punktist välja A(b=b 2) punktini B(b=b 1), siis selle üksikute elementide pingeid summeerides saame pideva ribataolise koormuse toimel pingete avaldised massiivi mis tahes punktis.
Kus Py = P= konst. Sel juhul on põhisuunad, s.o. suundadeks, milles suurimad ja väikseimad normaalpinged mõjuvad, on suunad, mis paiknevad piki “nähtamisnurkade” poolitajat ja on nendega risti (joonis 3.16). Nähtavusnurk a on nurk, mille moodustavad kõnealust punkti ühendavad sirged M ribakoorma servadega.
Põhipingete väärtused saame avaldistest (3.27), eeldades, et nendes on b=0:
Neid valemeid kasutatakse sageli konstruktsioonide vundamentide pingeseisundi (eriti piirseisundi) hindamisel.
Kasutades põhipingete väärtusi pooltelgedena, on võimalik konstrueerida pingeellipsi, mis iseloomustavad visuaalselt pinnase pingeseisundit piki riba ühtlaselt jaotunud koormuse korral. Pingeellipside jaotus (asukoht) lokaalse ühtlaselt jaotunud koormuse mõjul tasapinnalise ülesande tingimustes on näidatud joonisel 3.17.
Ühtlaselt jaotatud koormuse jaoks integreerige ülaltoodud avaldised at
Kasutades valemeid (3.28) saame määrata s z, s y Ja t yz lõigu kõigis punktides, mis on risti koormuse pikiteljega. Kui ühendame punktid, mille kõigi nende suuruste väärtus on sama, saame võrdse pingega read. Joonisel 3.18 on kujutatud identsete vertikaalsete pingete jooni s z, mida nimetatakse isobaarideks, horisontaalsed pinged s y, mida nimetatakse tõukejõuks ja tangentsiaalseteks pingeteks t zx, mida nimetatakse vahetusteks.
Need kõverad koostas D.E. Polshin, kasutades elastsuse teooria meetodeid koormuse jaoks, mis on ühtlaselt jaotatud laiusele b, mis ulatub lõputult joonisega risti olevas suunas. Kõverad näitavad, et survepingete mõju s z intensiivsus 0,1 väliskoormus R mõjutab umbes 6 sügavust b, samas kui horisontaalsed pinged s y ja puutujad t levivad sama intensiivsusega 0,1 R palju madalamale sügavusele (1,5–2,0) b. Võrdsete pingetega kõverjoonelistel pindadel on ruumiprobleemi korral sarnased piirjooned.
Joon.3.18. Võrdse pingega jooned lineaarselt deformeeritavas massis:
ja eest s z(isobaarid); b – s jaoks y(levik); sisse – eest t(nihe)
Joon.3.17. Pinge-ellipsid ühtlaselt jaotunud koormuse mõjul tasapinnalise probleemi tingimustes R, pinge 0,1 R on alusest 6 m sügavusel ja 2 m laiuse vundamendi puhul sama koormuse intensiivsusega 12 m sügavusel (joonis 3.19). Kui aluskihtides on nõrgemad pinnased, võib see oluliselt mõjutada konstruktsiooni deformatsiooni.
Joon.3.21. Survepingete jaotumise skeemid pinnase massi vertikaalsetel lõikudel kolmnurkse koormuse mõjul
II lisa tabelis II.4 on toodud koefitsiendi sõltuvused TO| z sõltuvalt z/b Ja y/b Koormatud riba laiuse mõju mõjutab pinge levimise sügavust. Näiteks 1 m laiuse vundamendi puhul, mis edastab alusele intensiivsusega koormuse
