30.07.11
Пожалуй, самую первую необычную фигуру придумал в середине ХIX столетия Август Мёбиус. Это был так называемый «лист Мёбиуса», или «лента Мёбиуса» – весьма простая и в то же время весьма странная конструкция.
Легко убедиться, что у этой фигуры всего одна поверхность!
Представьте себе что, например, по ленте Мёбиуса бежит муравей. Впрочем, поступим проще: посмотрим на ленту Мёбиуса, изображенную на хорошо известном рисунке Мориса Эшера.
Сделав круг, муравей прибегает к тому же месту, откуда он начал движение, но при этом оказывается с противоположной стороны плоской ленты! Естественно, пробежав еще один круг, он вернется в точку старта. (Конечно же, предполагается, что муравей не может перебраться через край ленты.)
Август Фердинанд Мёбиус (1790 - 1868)
Немецкий геометр и астроном, профессор Лейпцигского университета. Основные труды по геометрии. Впервые ввел в проективную геометрию систему координат и аналитические методы исследования, получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования, исследовал коррелятивные преобразования. Впервые установил существование односторонних поверхностей.
Ходит молва, что Мёбиусу пришла в голову идея об этой необычной геометрической фигуре, когда он увидел горничную, неправильно повязавшую свой шейный платок. Ну, что же, может быть, может быть! Ведь Исаак Ньютон тоже тянул с открытием всемирного закона тяготения, пока ему на голову не свалилось яблоко.
Справедливости ради, надо заметить, что сама фигура, называемая всеми лентой Мёбиуса, одновременно и независимо в том же 1858 году была построена и другим немецкими математиком Иоганном Бенедиктом Листингом (1808-1882), который, кстати, пустил в математический обиход и термин «топология».
Лента Мёбиуса сразу же привлекла внимание математиков. Одной из любопытных задач является следующая: какой длины (при заданной ширине) должна быть полосочка, чтобы ее можно было свернуть в лист Мёбиуса? Очень важный практический вопрос, неправда ли?
Но дело не ограничивается простой «классической» лентой Мёбиуса. Склейте ленту Мёбиуса из широкой полоски бумаги и попробуйте разрезать ее вдоль по средней линии. Начальная фаза разрезания показана на левом рисунке. А когда вы разрежете это кольцо до конца, то … увидите опять ленту Мёбиуса, правда, более «завинченную» (правый рисунок). Но муравей, начавши ползти опять пробежит по обеим сторонам полоски и вернется в точку старта.
Кстати, фокусники, разрезающие на удивление зрителей ленту Мёбиуса, называют получившуюся в результате фигуру почему-то «афганской лентой». Но не думайте, что на этом чудеса с лентой Мёбиуса закончились. А что получится, если полоску повернуть несколько раз перед склеиванием?
Все зависит от того, насколько закручена лента. При одном скручивании от простого кольца мы переходим к лента Мёбиуса.
Ну, а что же получится при двойном повороте ленты перед склеиванием? Оказывается, что в этом случае получается просто «закрученное» кольцо. Но если ленту повернуть перед склеиванием еще раз в том же направлении. То опять получится лента Мёбиуса, но уже «закрученная»!
Для удобства объяснения сути производимых операций выбрана лента, одна сторона которой белая, а вторая – серая. Тогда совершенно понятно, что сколько бы мы раз ни скручивали ленту, если окажется что ее так, что на стыке «встретились стороны с одним и тем же цветом, то это означает, что у склеенной ленты будет две поверхности – одна белая, а другая серая, т.е. будет образовано кольцо с винтообразной образующей лентой. Если же на стыке при склеивании серая сторона «встретится с белой, то после склеивания мы получим уже ленту Мёбиуса, хотя и тоже замысловатую. У нее будет всего одна поверхность: ведь Эшеровский муравей бегая по белой стороне, добегает в конце концов до границы, где начинается серая сторона и продолжает бежать уже по ней.
Интересны и свойства цепей, образованных плоскими кольцами и лентами Мёбиуса.
Соединим плотно два обычных плоских кольца и запустим Эшеровского муравья ползать по внешней поверхности левого кольца. Когда он доползает до места соединения колец, то он может перебраться на внутреннюю поверхности второго кольца. Если же запустить второго муравья на внутреннюю поверхность левого кольца, то он может перебраться на внешнюю поверхность правого кольца. Иначе говоря, два эти муравья никогда не встретятся – каждый будет ползать по своей поверхности.
Понятно, что если таким образом построить цепь плоских колец или цепь из лент Мёбиуса, то эти свойства у них сохранятся.
С лентой Мёбиуса можно продолжить интересные эксперименты и дальше. Сделайте заготовку из листа бумаги, как показано на рисунке. Разрежьте по линиям, а затем каждую из получившихся полосочек, не отделенных от основной части, сверните в лист Мёбиуса. Получится этакая многоэтажная конструкция.
Конечно, на рисунке дано схематичное представление полученной структуры. Реальная «фракталообразная» фигуры такого типа выглядит гораздо более замысловато.
Вот по такому «кусту Мёбиуса» муравей бы вдосталь напутешествовался! Подобного рода многоярусных и вложенных друг в друга лент Мёбиуса можно понапридумать, конечно, очень много.
В заключение приведем еще образец фигуры, которая обладает свойствами ленты Мёбиуса и при этом ни одна из сторон не скручена. Конечно, без маленьких хитростей дело не обошлось: попасть с внешней стороны на внутреннюю можно по «эскалатору» в центре кольца.
«Дырявое» кольцо, обладающее свойствами ленты Мёбиуса.
Очень легко подобного рода кольцо сделать даже с двумя эскалаторами, что обеспечит возможность муравью сделать полный цикл, не побывав ни разу в одной и той же точке (если, конечно, он не будет делать петель, а будет двигаться только вперед).
Методы исследования: анализ литературы по данной теме; сравнение; обобщение; моделирование (метод моделирования позволил мне получить информацию о различных свойствах изучаемого объекта на основе опытов с его материальными моделями).
Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса, немецкий геометр Лейпцигского университета. Первоначально Мёбиус был астрономом. Он ввел аналитические методы исследования, установил понятие проективного преобразования и существование односторонних поверхностей. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.
Как -то раз в доме на пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.
Лист Мёбиуса - это топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Сама топология началась именно с листа Мёбиуса.
Топология (от греч. το?πος — место) — часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов. Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.
Изготовление ленты Мёбиуса.
Возьмем бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой D. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо, которое получило особое название - "Лента Мёбиуса".
Опыты с лентой Мёбиуса
1 опыт.
Результат: линия проходит непрерывно по двум сторонам, заканчиваясь в начальной поставленной точке.
2 опыт.
Результат: лист Мёбиуса закрасился полностью, а вот у кольца одна сторона закрашена, а другая - нет.
3 опыт.
Результат: на обычном кольце паук и муха никогда не встретятся, не пересекая края. На листе Мёбиуса паук и муха встретятся не пересекая края в любом случае.
4 опыт:
Результат: получилось два кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого. У листа Мёбиуса получилось одно большое кольцо перекрученное в два раза (в виде восьмерки).
5 опыт:
Результат: получилось 2 кольца одно уже, другое шире. В листе Мёбиуса получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое - другое большое.
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту, был Морис Корнелис Эшер. Одна из известных - муравьи, ползающие по поверхности Ленты Мёбиуса. (см. Приложение 2)
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«НОВОЦУРУХАЙТУЙСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»
ПРИАРГУНСКОГО РАЙОНА
ЗАБАЙКАЛЬСКОГО КРАЯ
Исследовательская работа на тему:
«Лента Мёбиуса»
Выполнила: ученица 8 «А» класса
МОУ Новоцурухайтуйской СОШ
Симонова Анна Сергеевна
Руководитель: учитель математики
и информатики
Коктышева Юлия Георгиевна
Новоцурухайтуй, 2012 г.
Введение ………………………………………………………………………
История создания листа Мёбиуса…………………………………………
Изучение свойств ленты Мёбиуса…………………………………………
Применение ленты Мёбиуса в нашей жизни…………………………….
Заключение…………………………………………………………………….
Список Литературы………………………………………………………………..
Приложения………………………………………………………………………..
Введение
Актуальность исследования. В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений необычных фигур. Лист Мёбиуса востребован, его применение развивается, и свойства не до конца изучены. Его ценность состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета (см. Приложение 1). Актуальность данной тематики предопределило выбор темы научного исследования.
Цель исследования: исследование поверхности ленты Мебиуса.
Гипотеза: если мыисследуем поверхность ленты Мебиуса, то определим её практическое применение
Объект исследования : лента Мебиуса.
Предмет исследования: свойства ленты Мёбиуса.
Задачи:
познакомиться с историей появления ленты Мебиуса;
выявить и исследовать свойства ленты Мебиуса;
установить области применения ленты Мебиуса.
Методы исследования : анализ литературы по данной теме; сравнение; обобщение; моделирование (метод моделирования позволил мне получить информацию о различных свойствах изучаемого объекта на основе опытов с его материальными моделями).
История создания листа Мёбиуса
Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август Фердинанд Мёбиус (1790–1868), ученик "короля математиков" Гаусса, немецкий геометр Лейпцигского университета. Первоначально Мёбиус был астрономом. Он ввел аналитические методы исследования, установил понятие проективного преобразования и существование односторонних поверхностей. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса.
В 26 лет Мёбиус стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили.
Как –то раз в доме на пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.
Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.
Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.
Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса.
Лист Мёбиуса – это топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Сама топология началась именно с листа Мёбиуса.
Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, который почти в тоже время, что и его коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам перекрученную ленту.
Топология (от греч. τόπος - место) - часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов. Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.
Изучение свойств ленты Мёбиуса
Изготовление ленты Мёбиуса. Для изготовления ленты Мёбиуса потребуются бумажные полосы длиной 30 см и шириной 3 см.
Возьмем бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой D . Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо, которое получило особое название - "Лента Мёбиуса".
Опыты с лентой Мёбиуса
1 опыт. Поставьте точку на одной стороне ленты и начертите линию вдоль неё.
Результат: линия проходит непрерывно по двум сторонам, заканчиваясь в начальной поставленной точке.
2 опыт. Попробуйте закрасить ленту Мёбиуса, а затем обычное кольцо.
Результат: лист Мёбиуса закрасился полностью, а вот у кольца одна сторона закрашена, а другая – нет.
3 опыт. Изготовим из бумаги паука и муху, и отправим их «гулять» сначала по обычному листу, а затем по листу Мёбиуса при этом не пересекая края кольца и ленты.
Результат: на обычном кольце паук и муха никогда не встретятся, не пересекая края. На листе Мёбиуса паук и муха встретятся не пересекая края в любом случае.
4 опыт: разрежем кольца пополам вдоль. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.)
Результат: получилось два кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого. У листа Мёбиуса получилось одно большое кольцо перекрученное в два раза (в виде восьмерки).
5 опыт: разрежем кольцо вдоль, отступив от края 1/3. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.). Точно также разрежем и лист Мёбиуса.
Результат: получилось 2 кольца одно уже, другое шире. В листе Мёбиуса получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое – другое большое.
На основе проведенных опытов можно сделать вывод:
Лента Мёбиуса имеет только один край.
Имеет только одну поверхность.
Объекты по поверхности ленты будут двигаться бесконечно
Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают.
Применение ленты Мёбиуса в нашей жизни
Лента Мёбиуса получила своё применение во многих областях нашей жизни.
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту, был Морис Корнелис Эшер. Одна из известных – муравьи, ползающие по поверхности Ленты Мёбиуса. (см. Приложение 2)
Кроме того, Лист Мёбиуса встречается и в картинах других художников. (см. Приложение 3)
Встречается он и в архитектуре. (см. Приложение 4) Так, например проектирование национальной библиотеки в Астане по названием «Юрта Мёбиуса».
Их дизайн основан на сочетании четырех форм: кольца, ротонды, арки и юрты, при этом объединенных по принципу ленты Мёбиуса.
Так же есть парковая скамья, повторяющая очертания ленты Мебиуса, ротонда для любования пейзажем посреди поля и дом-гнездо на воде вошли в шорт-лист общероссийской премии в области деревянной архитектуры АРХИWOOD.
Поразил нас и Поп-арт, разработанный для вьетнамского города Хошимин. Со стороны, кажется, что этот многофункциональный комплекс похож на американские горки. Хотя основой для внешнего вида Everrich стали вовсе не американские горки, а лента Мебиуса.
Общая площадь этого многофункционального комплекса составит почти 632 тысячи квадратных метров, 37 этажей. На них расположатся 3 100 жилых квартир, офисные и гостиничные помещения, торговые залы и развлекательный центр.
Использование двойной Ленты Мебиуса можно увидеть в организации структуры выставочного автомобильного комплекса «Мерседес - Бенц».
Лентой Мёбиуса восхищались и поэты. Мы нашли несколько стихотворений, посвященные этому замечательному объекту.
Наталья Юрьевна Иванова
Лист Мёбиуса
Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.
В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.
Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:……
……………………………………..
Лист Мёбиуса. (Дмитрий Худолей)
Двенадцать фраз, всего шесть строф,
С десяток рифм, полсотни слов.
Здесь нет начала, нет конца,
И нет изнанки, нет лица…………
Романтическое описание листа Мебиуса встречается в повести Э.Успенского «Красная рука, черная простыня, зеленые пальцы»
«…Но больше всего поразил Рахманина какой-то странный то ли знак, то ли вензель, то ли орден очень и очень аккуратной работы. Никогда раньше он не видел ничего похожего. Это изделие напоминало или старинный герб иностранного дворянского рода, или герб страховой компании, торгующей научными приборами, потому что основу его составлял лист Мебиуса.
Эта вещь очень понравилась Рахманину… В знаке совершенно четко проступал какой-то смысл, были заложены определенные пропорции и связи.»
Удивительно и применение ленты Мёбиуса в науки и технике. В 1923г изобретатель. Ли де Форес предложил записывать звук на киноленту без смены катушек. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и соединяется в кольцо, при этом появляется возможность записывать и считывать информацию с двух сторон, что увеличивает емкость кассеты. Так же полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.В матричных принтерах красящая лента также имела вид лист Мёбиуса это для увеличения срока годности. (см. Приложение 5)
Вдохновляет лист Мёбиуса и дизайнеров. Примером является кресла Мёбиуса: этот диван повторяет секрет одноименной ленты, который в данном дизайнерском решении используется в качестве создания специальной атмосферы романтичности. (см. Приложение6)
Лист Мёбиуса используют в оформлении ювелирных изделий и бижутерии. (см. Приложение 7)
Заключение
Таким образом, лента Мёбиуса – первая односторонняя поверхность, которая положила начало новому направлению в геометрии – топологии.
В ходе своего исследования я изучила большое количество литературы. В различных источниках сети Интернет мне встречались работы других учащихся, я проводила сравнение и анализировала прочитанное.
Так же, в своем исследовании я познакомилась с историей создания ленты Мебиуса. Мною было проведено ряд опытов с лентой Мёбиуса, результаты которой меня очень заинтересовали. В связи с этим мне захотелось посмотреть где же используют ленту Мёбиуса. Оказалось, что лента Мёбиуса применяется практически во всех областях нашей жизни.
Работа над темой мне очень понравилось. Для себя я получила много полезной и интересной информации о листе Мёбиуса.
Список литературы
Большая советская энциклопедия. Том 15. Москва.: третье издание, 1974 г.
Смирнова И. М. , Смирнов В. А. Учебник геометрии 7-9 классы. Москва.: Мнемозина, 2009 г.
Журнал «Квант», 1978, №6
Интернет сайты:
http://www.coolreferat.com
http://www.websib.ru
http://www.genon.ru/
http://nsportal.ru
http://zalivino.net/
http://barabinsk.ucoz.ru
http://mou-kislov.narod.ru/
regconf.vstu.edu.ru›
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Давайте поэкспериментируем: вырежем из бумаги полоску, склеим концы ленты, но не так, как обычно, а с поворотом на 180 градусов. У нас получилась лента Мёбиуса.
Немецкий астроном и математик Август Фердинанд Мёбиус взял однажды бумажную ленту, повернул один её конец на пол-оборота (то есть на 180 градусов), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли ради научного интереса - теперь уже неизвестно. Зато доподлинно известно, что именно так и появилась ещё в прошлом веке знаменитая лента Мёбиуса.
Чем же она знаменита? А тем, что поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Возьмите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернётесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы её не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя . Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается.
Поработаем ножницами ещё раз: проткнём эту ленту и аккуратно разрежем её вдоль - точно посередине. «Ну вот, - подумаете вы, - сейчас получатся два отдельных кольца…».
Но что это? Вместо двух колец, получается одно! Причём оно больше и тоньше первоначального, и перекручено дважды. «Такого не бывает», - скажете вы. Бывает.
Как Вы думаете, что станет с этой фигурой, если её снова разрезать? Может быть, снова выйдет одна целая, но перекрученная полоска бумаги? Нет. На этот раз получатся уже два сцепленных кольца.
Вот такие интересные метаморфозы таит в себе лента Мебиуса. Вы можете показать друзьям эти явления, выдавая их за фокусы, тогда как на самом деле вы просто продемонстрируете им математические законы.
Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики - топология
.
Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах (и то не во всех!). Но кто знает, вдруг вы станете со временем знаменитым топологом и совершите не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут вашим именем!
А где в реальной жизни можно увидеть ленту Мёбиуса? Многие архитекторы в своих проектах пытаются использовать загадочную ленту. Так бельгийский архитектор Винсент Каллебо для парка в Тайване разработал новое здание, которое напоминает ленту Мебиуса.
Сооружение имеет форму ласточкиного гнезда и начинается с треугольника, а затем закручивается в эллипс. Внутри строения можно полюбоваться растениями, предметами искусства или просто совершить прогулку.
Видео демонстрирует загадки ленты Мёбиуса
Лента Мёбиуса и её сюрпризы
Немецкий математик и астроном-теоретикАвгуст Фердинанд Мёбиус (1790-1868) - ученик великого Гаусса, известный геометр, профессор Лейпцигского университета, директор обсерватории. Долгие годы преподавания, долгие годы работы – обычная жизнь профессора.
И вот надо же, это случилось под конец жизни! Пришла удивительная идея … это был самое значительное событие в его жизни! К сожалению, он так и не успел оценить значимость своего изобретения. Статья о знаменитой ленте Мебиуса была опубликована посмертно.
Существуют две легенды открытия односторонней поверхности.
По первой легенде, знаменитую ленту Мебиуса изобрел вовсе не самАвгуст Фердинанд Мебиус, немецкий астроном и математик, а его горничная, которая в силу невезения неправильно прострочила воротничок рубашки ученого, таким образом войдя в историю.
По второй легенде, открыть свой "лист" Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. Ну, что же, может быть, может быть! Ведь Исаак Ньютон тоже тянул с открытием всемирного закона тяготения, пока ему на голову не свалилось яблоко.
Как же называют ленту Мебиуса (иначе лист Мебиуса или петлю Мебиуса) математики?
На языке математики – это
топологический объект, простейшая односторонняя поверхностьс краем в обычном трёхмерном Евклидовом пространстве, где можно попасть из одной точки этой поверхности в любую другую, не пересекая края.Достаточно сложное определение!
Поэтому удобнее просто рассмотреть ленту Мебиуса поближе. Берем бумажную полоску, перекручиваем полоску в пол-оборота поперек (на 180 градусов) и склеиваем концы.
В другой раз "мама бы по головке за такую работу не погладила"! Но, на этот раз вы правы! Она должна быть перекрученным кольцом.
Ставим в каком-нибудь месте на полоске точку фломастером. А теперь прочерчиваем вдоль всей нашей ленты линию, пока вам не встретится вновь ваша точка. Вам нигде не пришлось переходить через край – это и называется односторонней поверхностью.
Посмотрите, как интересно проходит прочерченная вами линия: она то внутри кольца, то снаружи! А теперь измерьте длину этой линии - от точки до точки.
Так и должно быть, ведь у вас в руках лента Мебиуса! А у ленты Мебиуса есть только одна сторона, и мы опять скажем – это односторонняя поверхность с краем.
А если по этой черте заставить ползти, не сворачивая, муравья, то вы получите копию картины художника Мориса Эшера.
А можно сделать две немного разные ленты Мебиуса: у одной перекручивать перед склейкой полоску по часовой стрелке, а у другой – против часовой стрелки. Так различаются правая и левая ленты Мебиуса.
А теперь
интересные сюрпризы
с лентой Мебиуса:
1.
Разрежьте ленту Мебиуса вкруговую по центральной линии. Не бойтесь, она не развалится на две части! Лента развернется в длинную замкнутую ленту, закрученную вдвое больше, чем первоначальная. Почему лента Мебиуса при таком разрезе не распадается на отдельные части?
Разрез не касался края ленты, поэтому после разреза край (а значит и вся полоска бумаги) останется целым куском.
2. Полученную после первого опыта ленту Мебиуса (закрученную вдвое больше, чем первоначальная, т.е. на 360 градусов) вновь разрежьте по ее центральной линии.
Что получится?
У вас в руках окажутся теперь две одинаковые, но сцепленные между собой ленты Мебиуса.
3. Сделайте новую ленту Мебиуса, но перед склейкой поверните ее не один раз, а три раза (не на 180 градусов, а на 540). Затем разрежьте ее вдоль центральной линии.
Что получилось?
У вас должна получиться замкнутая лента, завитая в
узел трилистника, т.е. в простой узел с тремя самопересечениями.
4. Если вы сделаете ленту Мебиуса с еще большим числом полуоборотов перед склейкой, то получатся неожиданные и удивительные фигуры, называемые
парадромными кольцами.5. Если разрезать ленту Мебиуса, не посередине, а отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получатся две сцепленные ленты, одна - более короткая лента Мебиуса, и другая - длинная лента Мебиуса с двумя полуоборотами.
Посмотрите, как это можно сделать на практике:
Близкой к ленте Мебиуса односторонней поверхностью является
бутылка Клейна.Есть еще один интересный объект, связанный с лентой Мебиуса. Это
резистор Мебиуса.
В истории нередко бывают случаи, когда одна идея приходит в головы одновременно нескольким изобретателям. Так случилось и с лентой Мебиуса. В том же 1858 году идея ленты пришла и к другому ученому -Иоганну Листингу . Он дал название науке, изучающей непрерывность, -топология . А первенство в открытии топологического объекта – ленты досталось Августу Мебиусу.
Мы незаметно встречаем ленту Мебиуса в разных устройствах: это и красящие ленты в матричных принтерах, и ременные передачи, шлифовальные устройства, ленточные конвееры и многие другие. В этом случае срок службы изделия увеличивается, т.к. уменьшается изнашиваемость. А в системах непрерывной записи применение ленты Мебиуса позволяет вдвое увеличить время записи на одну пленку.
Таинственная лента Мебиуса всегда будоражила умы писателей, художников и скульпторов.
Рисунок ленты Мебиуса используется в графике. Вспомните, например, эмблему знаменитой серии научно-популярных книг "Библиотечка "Квант" или международный символ переработки.
Существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы)[[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found. )]][[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found. )]] .
Лента Мёбиуса играет важную роль в фантастическом романе Р. Желязны «Двери в песке» .
Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности . Однако по имеющимся историческим сведениям символ Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \infty
стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса (см. Символ бесконечности).
