Blogi tervislikest eluviisidest. Lülisamba song. Osteokondroos. Elukvaliteet. ilu ja tervis

Siit leiate põhiteavet püramiidide ning nendega seotud valemite ja mõistete kohta. Kõiki neid õpitakse matemaatika juhendajaga ühtseks riigieksamiks valmistudes.

Mõelge tasapinnale, hulknurgale , lamades selles ja punktis S, mitte lamades selles. Ühendame S kõigi hulknurga tippudega. Saadud hulktahukat nimetatakse püramiidiks. Segmente nimetatakse külgribideks. Hulknurka nimetatakse aluseks ja punkti S on püramiidi tipp. Olenevalt arvust n nimetatakse püramiidi kolmnurkseks (n=3), nelinurkseks (n=4), viisnurkseks (n=5) jne. Kolmnurkse püramiidi alternatiivne nimi on tetraeeder. Püramiidi kõrgus on risti, mis laskub selle tipust aluse tasapinnani.

Püramiidi nimetatakse regulaarseks, kui korrapärane hulknurk ja püramiidi kõrguse alus (risti alus) on selle keskpunkt.

Juhendaja kommentaar:
Ärge ajage segi mõisteid "regulaarne püramiid" ja "regulaarne tetraeedr". Tavalises püramiidis ei pruugi külgservad olla võrdsed aluse servadega, kuid tavalises tetraeedris on kõik 6 serva võrdsed. See on tema määratlus. Lihtne on tõestada, et võrdsus eeldab, et hulknurga keskpunkt P langeb kokku aluse kõrgusega, seega on tavaline tetraeeder korrapärane püramiid.

Mis on apoteem?
Püramiidi apoteem on selle külgpinna kõrgus. Kui püramiid on korrapärane, on kõik selle apoteemid võrdsed. Vastupidine ei vasta tõele.

Matemaatika juhendaja oma terminoloogiast: 80% tööst püramiididega on üles ehitatud kahte tüüpi kolmnurkade kaudu:
1) Sisaldab apoteemi SK ja kõrgust SP
2) Sisaldab külgserva SA ja selle projektsiooni PA

Nendele kolmnurkadele viitamise lihtsustamiseks on matemaatikaõpetajal mugavam kutsuda neist esimene apoteemne, ja teiseks rannikuala. Kahjuks ei leia seda terminoloogiat ühestki õpikust ja õpetaja peab seda ühepoolselt tutvustama.

Püramiidi ruumala valem:
1) , kus on püramiidi aluse pindala ja püramiidi kõrgus
2) , kus on sisse kirjutatud kera raadius ja püramiidi kogupinna pindala.
3) , kus MN on kaugus mis tahes kahe ristuva serva vahel ja on rööpküliku pindala, mille moodustavad ülejäänud nelja serva keskpunktid.

Püramiidi kõrguse aluse omadus:

Punkt P (vt joonis) langeb kokku püramiidi põhjas oleva sisse kirjutatud ringi keskpunktiga, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:
1) Kõik apoteemid on võrdsed
2) Kõik külgpinnad on aluse suhtes võrdselt kallutatud
3) Kõik apoteemid on püramiidi kõrgusele võrdselt kaldu
4) Püramiidi kõrgus on kõigi külgpindade suhtes võrdselt kaldu

Matemaatika juhendaja kommentaar: Pange tähele, et kõiki punkte ühendab üks ühine omadus: nii või teisiti on kõikjal kaasatud külgmised tahud (apoteemid on nende elemendid). Seetõttu saab juhendaja pakkuda vähem täpset, kuid õppimiseks mugavamat sõnastust: punkt P ühtib sisse kirjutatud ringi keskpunktiga, püramiidi põhjaga, kui selle külgpindade kohta on võrdne teave. Selle tõestamiseks piisab, kui näidata, et kõik apoteemi kolmnurgad on võrdsed.

Punkt P langeb kokku püramiidi aluse lähedale piiritletud ringi keskpunktiga, kui on tõene üks kolmest tingimusest:
1) Kõik külgmised servad on võrdsed
2) Kõik külgmised ribid on aluse suhtes võrdselt kaldu
3) Kõik külgmised ribid on kõrgusele võrdselt kaldu

• apoteem- korrapärase püramiidi külgpinna kõrgus, mis on tõmmatud selle tipust (lisaks on apoteem ristnurga pikkus, mis on langetatud korrapärase hulknurga keskelt ühele küljele);
• külgmised näod (ASB, BSC, CSD, DSA) - kolmnurgad, mis kohtuvad tipus;
• külgmised ribid ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — külgpindade ühised küljed;
• püramiidi tipp (t. S) - külgribisid ühendav punkt, mis ei asu aluse tasapinnas;
• kõrgus ( NII ) - risti segment, mis on tõmmatud läbi püramiidi tipu selle aluse tasapinnaga (sellise segmendi otsad on püramiidi tipp ja risti alus);
• püramiidi diagonaallõige- püramiidi lõik, mis läbib aluse tipu ja diagonaali;
• alus (ABCD) - hulknurk, mis ei kuulu püramiidi tippu.

Püramiidi omadused.

1. Kui kõik külgmised servad on ühesuurused, siis:

• püramiidi aluse lähedal asuvat ringi on lihtne kirjeldada ja püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskele;
• külgmised ribid moodustavad aluse tasapinnaga võrdsed nurgad;
• Pealegi on ka vastupidi, s.t. kui külgmised ribid moodustavad aluse tasapinnaga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse ja püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskele, tähendab see, et kõik külgmised servad püramiidist on ühesuurused.

2. Kui külgpindade kaldenurk on aluse tasapinna suhtes sama väärtusega, siis:

• püramiidi aluse lähedal asuvat ringi on lihtne kirjeldada ja püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskele;
• külgpindade kõrgused on võrdse pikkusega;
• külgpinna pindala on võrdne ½ aluse perimeetri ja külgpinna kõrguse korrutisega.

3. Kera saab kirjeldada püramiidi ümber, kui püramiidi põhjas on hulknurk, mille ümber saab kirjeldada ringjoont (vajalik ja piisav tingimus). Sfääri keskpunkt on nende tasandite lõikepunkt, mis läbivad nendega risti püramiidi servade keskkohti. Sellest teoreemist järeldame, et sfääri saab kirjeldada nii mis tahes kolmnurkse kui ka iga korrapärase püramiidi ümber.

4. Püramiidi saab sisse kirjutada kera, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad 1. punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.

Lihtsaim püramiid.

Nurkade arvu alusel jagatakse püramiidi alus kolmnurkseks, nelinurkseks jne.

Tuleb püramiid kolmnurkne, nelinurkne ja nii edasi, kui püramiidi alus on kolmnurk, nelinurk jne. Kolmnurkne püramiid on tetraeeder – tetraeedr. Nelinurkne - viisnurkne ja nii edasi.

Märge. See on osa geomeetriaprobleemidega tunnist (lõike stereomeetria, püramiidiga seotud ülesanded). Kui teil on vaja lahendada geomeetria ülesanne, mida siin pole, kirjutage sellest foorumisse. Ülesannetes kasutatakse "ruutjuure" sümboli asemel funktsiooni sqrt(), milles sqrt on ruutjuure sümbol ja radikaalavaldis on näidatud sulgudes.Lihtsate radikaalsete väljendite puhul võib kasutada märki "√"..

Teoreetilisi materjale ja valemeid leiate peatükist "Õige püramiid".

Ülesanne

Korrapärase kolmnurkse püramiidi apoteem on 4 cm ja kahetahuline nurk põhjas on 60 kraadi. Leidke püramiidi ruumala.

Lahendus.

Kuna püramiid on korrapärane, kaaluge järgmist:

• Püramiidi kõrgus projitseeritakse aluse keskele
• Ülesande järgi on korrapärase püramiidi aluse keskpunkt võrdkülgne kolmnurk
• Võrdkülgse kolmnurga keskpunkt on nii sissekirjutatud kui ka piiritletud ringi keskpunkt.
• Püramiidi kõrgus moodustab aluse tasapinnaga täisnurga

Püramiidi ruumala saab leida järgmise valemi abil:
V = 1/3 Sh

Kuna korrapärase püramiidi apoteem moodustab koos püramiidi kõrgusega täisnurkse kolmnurga, siis kasutame kõrguse leidmiseks siinuste teoreemi. Lisaks võtame arvesse:

• Vaadeldava täisnurkse kolmnurga esimene haru on kõrgus merepinnast, teine ​​jalg on sisse kirjutatud ringi raadius (tavalise kolmnurga puhul on keskpunkt samaaegselt nii sisse kirjutatud kui ka piiritletud ringi keskpunkt), hüpotenuus on ringjoone apoteem. püramiid
• Täisnurkse kolmnurga kolmas nurk on võrdne 30 kraadiga (kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi, nurk 60 kraadi on antud tingimusega, teine ​​nurk on sirgjoon vastavalt püramiidi omadustele, kolmas on 180-90-60 = 30)
• 30 kraadi siinus on võrdne 1/2-ga
• siinus 60 kraadi võrdub kolme juurega pooleks
• 90 kraadi siinus on 1

Siinuse teoreemi järgi:
4 / patt (90) = h / patt (60) = r / patt (30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
kus
r = 2
h = 2√3

Püramiidi põhjas asub korrapärane kolmnurk, mille pindala saab leida järgmise valemi abil:
S tavaline kolmnurk = 3√3 r 2.
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.

Nüüd leiame püramiidi mahu:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 cm 3.

Vastus: 24 cm 3 .

Ülesanne

Korrapärase nelinurkse püramiidi aluse kõrgus ja külg on vastavalt 24 ja 14. Leia püramiidi apoteem.

Lahendus.

Kuna püramiid on korrapärane, asub selle põhjas korrapärane nelinurk - ruut. Lisaks projitseeritakse püramiidi kõrgus väljaku keskmesse. Seega on täisnurkse kolmnurga jalg, mille moodustavad püramiidi apoteem, kõrgus ja neid ühendav lõik, võrdne poolega korrapärase nelinurkse püramiidi aluse pikkusest.

Kus Pythagorase teoreemi kohaselt leitakse võrrandist apoteemi pikkus:

7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25

Vastus: 25 cm

Definitsioon. Külgserv- see on kolmnurk, mille üks nurk asub püramiidi ülaosas ja vastaskülg langeb kokku aluse (hulknurga) küljega.

Definitsioon. Külgmised ribid- need on külgpindade ühised küljed. Püramiidil on sama palju servi kui hulknurga nurki.

Definitsioon. Püramiidi kõrgus- see on risti, mis on langetatud püramiidi tipust põhja.

Definitsioon. Apoteem- see on risti püramiidi külgpinnaga, mis on langetatud püramiidi tipust aluse küljele.

Definitsioon. Diagonaalne lõige- see on püramiidi osa tasapinnast, mis läbib püramiidi tippu ja aluse diagonaali.

Definitsioon. Õige püramiid on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk ja kõrgus langeb aluse keskele.

Püramiidi ruumala ja pindala

Valem. Püramiidi ruumala läbi aluse pindala ja kõrgus:

Püramiidi omadused

Kui kõik külgservad on võrdsed, saab püramiidi aluse ümber tõmmata ringi, mille aluse keskpunkt ühtib ringi keskpunktiga. Samuti läbib aluse (ringi) keskpunkti ülevalt alla lastud risti.

Kui kõik külgmised servad on võrdsed, on need aluse tasapinna suhtes samade nurkade all.

Külgservad on võrdsed, kui nad moodustavad aluse tasapinnaga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.

Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes sama nurga all, saab püramiidi põhjale kirjutada ringi ja püramiidi tipp projitseeritakse selle keskpunkti.

Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes sama nurga all, siis on külgpindade apoteemid võrdsed.

Tavalise püramiidi omadused

1. Püramiidi tipp on aluse kõigist nurkadest võrdsel kaugusel.

2. Kõik külgmised servad on võrdsed.

3. Kõik külgmised ribid on aluse suhtes võrdse nurga all.

4. Kõikide külgtahkude apoteemid on võrdsed.

5. Kõikide külgpindade pindalad on võrdsed.

6. Kõigil tahkudel on samad kahetahulised (tasapinnalised) nurgad.

7. Püramiidi ümber saab kirjeldada kera. Piiratud sfääri keskpunkt on servade keskosa läbivate perpendikulaaride lõikepunkt.

8. Püramiidi saab sobitada kera. Sissekirjutatud sfääri keskpunkt on serva ja aluse vahelisest nurgast lähtuvate poolitajate lõikepunkt.

9. Kui sissekirjutatud sfääri keskpunkt ühtib piiritletud sfääri keskpunktiga, siis tasandi nurkade summa tipus on võrdne π-ga või vastupidi, üks nurk võrdub π/n, kus n on arv nurgad püramiidi põhjas.

Seos püramiidi ja sfääri vahel

Püramiidi ümber olevat kera saab kirjeldada siis, kui püramiidi põhjas on hulktahukas, mille ümber saab kirjeldada ringjoont (vajalik ja piisav tingimus). Sfääri keskpunkt on püramiidi külgmiste servade keskpunkte risti läbivate tasapindade lõikepunkt.

Alati on võimalik kirjeldada sfääri mis tahes kolmnurkse või korrapärase püramiidi ümber.

Kera saab püramiidi sisse kirjutada, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad ühes punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.

Püramiidi ja koonuse suhe

Koonust nimetatakse püramiidi sisse kantuks, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on kantud püramiidi põhja.

Püramiidi saab kirjutada koonuse, kui püramiidi apoteemid on üksteisega võrdsed.

Koonust nimetatakse ümber püramiidi, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on ümbritsetud ümber püramiidi aluse.

Püramiidi ümber olevat koonust saab kirjeldada, kui kõik püramiidi külgservad on üksteisega võrdsed.

Püramiidi ja silindri suhe

Püramiidi nimetatakse silindrisse kantuks, kui püramiidi tipp asub silindri ühel alusel ja püramiidi põhi on kantud silindri teisele alusele.

Silindrit saab kirjeldada ümber püramiidi, kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.

Definitsioon. Kärbitud püramiid (püramiidprisma) on hulktahukas, mis asub püramiidi aluse ja alusega paralleelse lõiketasandi vahel. Seega on püramiidil suurem alus ja väiksem alus, mis sarnaneb suuremaga. Külgpinnad on trapetsikujulised.

Definitsioon. Kolmnurkne püramiid (tetraeeder) on püramiid, mille kolm tahku ja põhi on suvalised kolmnurgad.

Tetraeedril on neli tahku ja neli tippu ja kuus serva, kus kahel serval ei ole ühiseid tippe, kuid need ei puutu kokku.

Iga tipp koosneb kolmest tahust ja servast, mis moodustavad kolmnurkne nurk.

Nimetatakse lõiku, mis ühendab tetraeedri tippu vastaskülje keskpunktiga tetraeedri mediaan(GM).

Bimediaan nimetatakse lõiguks, mis ühendab vastasservade keskpunkte, mis ei puutu kokku (KL).

Kõik tetraeedri bimediaanid ja mediaanid lõikuvad ühes punktis (S). Sel juhul jagatakse bimediaanid pooleks ja mediaanid suhtega 3:1, alustades tipust.

Definitsioon. Kaldus püramiid on püramiid, mille üks servadest moodustab põhjaga nürinurga (β).

Definitsioon. Ristkülikukujuline püramiid on püramiid, mille üks külgpindadest on aluse suhtes risti.

Definitsioon. Teravnurkne püramiid- püramiid, mille apoteem on üle poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. Nürakujuline püramiid- püramiid, mille apoteem on alla poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. Regulaarne tetraeeder- tetraeeder, mille kõik neli tahku on võrdkülgsed kolmnurgad. See on üks viiest korrapärasest hulknurgast. Tavalises tetraeedris on kõik kahetahulised nurgad (tahkude vahel) ja kolmnurksed nurgad (tipu juures) võrdsed.

Definitsioon. Ristkülikukujuline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, mille tipus on kolme serva vahel täisnurk (servad on risti). Moodustuvad kolm nägu ristkülikukujuline kolmnurkne nurk ja tahud on täisnurksed kolmnurgad ja alus on suvaline kolmnurk. Mis tahes näo apoteem on võrdne poole aluse küljega, millele apoteem langeb.

Definitsioon. Isoeedriline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, mille külgpinnad on üksteisega võrdsed ja mille alus on korrapärane kolmnurk. Sellisel tetraeedril on tahud, mis on võrdhaarsed kolmnurgad.

Definitsioon. Ortotsentriline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, milles kõik kõrgused (perpendikulaarid), mis on langetatud ülalt vastasküljele, ristuvad ühes punktis.

Definitsioon. Tähepüramiid nimetatakse hulktahukaks, mille alus on täht.

Definitsioon. Bipüramiid- polühedron, mis koosneb kahest erinevast püramiidist (püramiide ​​saab ka ära lõigata), millel on ühine alus ja mille tipud asuvad alustasandi vastaskülgedel.

Püramiid on ruumiline hulktahukas ehk hulktahukas, mida leidub geomeetrilistes ülesannetes. Selle joonise peamised omadused on selle maht ja pindala, mis arvutatakse selle kahe lineaarse karakteristiku teadmiste põhjal. Üks neist omadustest on püramiidi apoteem. Seda arutatakse artiklis.

Püramiidi kuju

Enne püramiidi apoteemi definitsiooni andmist tutvume kujundi endaga. Püramiid on hulktahukas, mille moodustavad üks n-nurkne alus ja n kolmnurka, mis moodustavad kujundi külgpinna.

Igal püramiidil on tipp – kõigi kolmnurkade ühenduspunkt. Sellest tipust aluse külge tõmmatud risti nimetatakse kõrguseks. Kui kõrgus lõikub alusega geomeetrilises keskpunktis, nimetatakse joonist sirgjooneks. Võrdkülgse alusega sirget püramiidi nimetatakse regulaarseks. Joonisel on kuusnurkse põhjaga püramiid külgedelt ja servadest vaadatuna.

Korrapärase püramiidi apoteem

Seda nimetatakse ka apoteemiks. Selle all mõistetakse risti, mis on tõmmatud püramiidi tipust joonise aluse külje poole. Oma määratluse järgi vastab see risti kolmnurga kõrgusele, mis moodustab püramiidi külgpinna.

Kuna käsitleme tavalist n-nurkse alusega püramiidi, siis on kõik selle n apoteemid samad, kuna need on joonise külgpinna võrdhaarsed kolmnurgad. Pange tähele, et identsed apoteemid on tavalise püramiidi omadus. Üldtüüpi figuuri (ebakorrapärase n-nurgaga kaldus) puhul on kõik n apoteemid erinevad.

Tavalise püramiidi apoteemi teine ​​omadus on see, et see on samaaegselt vastava kolmnurga kõrgus, mediaan ja poolitaja. See tähendab, et see jagab selle kaheks identseks täisnurkseks kolmnurgaks.

ja valemid selle apoteemi määramiseks

Igas tavapüramiidis on olulised lineaarsed karakteristikud selle aluse külje pikkus, külgserv b, kõrgus h ja apoteem h b. Need suurused on omavahel seotud vastavate valemitega, mille saab püramiidi joonistades ja vajalikke täisnurkseid kolmnurki arvestades.

Tavaline kolmnurkne püramiid koosneb neljast kolmnurksest tahust ja üks neist (põhi) peab olema võrdkülgne. Ülejäänud on üldjuhul võrdhaarsed. Kolmnurkse püramiidi apoteemi saab määrata teiste suuruste järgi järgmiste valemite abil:

h b = √(b2 - a2/4);

h b = √(a 2 /12 + h 2)

Esimene neist avaldistest kehtib mis tahes regulaarse alusega püramiidi kohta. Teine väljend on tüüpiline eranditult kolmnurkse püramiidi jaoks. See näitab, et apoteem on alati suurem kui figuuri kõrgus.

Püramiidi apoteemi ei tohiks segi ajada hulktahuka omaga. Viimasel juhul on apoteem polüeedri keskpunktist külje külge tõmmatud risti segment. Näiteks võrdkülgse kolmnurga apoteem on √3/6*a.

Apoteemi arvutamise probleem

Olgu meile antud korrapärane püramiid, mille põhjas on kolmnurk. Selle apoteemi on vaja arvutada, kui on teada, et selle kolmnurga pindala on 34 cm 2 ja püramiid ise koosneb 4 identsest tahust.

Vastavalt ülesande tingimustele on meil tegemist võrdkülgsetest kolmnurkadest koosneva tetraeedriga. Ühe näo pindala valem on järgmine:

Kust saame külje a pikkuse:

Apoteemi h b määramiseks kasutame valemit, mis sisaldab külgserva b. Vaadeldaval juhul on selle pikkus võrdne aluse pikkusega, meil on:

h b = √(b 2 - a 2 /4) = √3/2*a

Asendades väärtuse a kuni S, saame lõpliku valemi:

h b = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)

Oleme saanud lihtsa valemi, milles püramiidi apoteem sõltub ainult selle aluse pindalast. Kui asendada ülesandetingimustest S väärtus, saame vastuseks: h b ≈ 7,674 cm.