وبلاگی در مورد سبک زندگی سالم. فتق ستون فقرات. استئوکندروز. کیفیت زندگی. زیبایی و سلامتی

در اینجا می توانید اطلاعات اولیه در مورد اهرام و فرمول ها و مفاهیم مرتبط را بیابید. همه آنها برای آمادگی برای آزمون دولتی یکپارچه با یک معلم خصوصی ریاضی مطالعه می شوند.

یک صفحه، یک چند ضلعی را در نظر بگیرید ، در آن خوابیده و یک نقطه S، نه در آن خوابیده است. بیایید S را به تمام رئوس چندضلعی وصل کنیم. چندوجهی به دست آمده هرم نامیده می شود. قطعات را دنده های جانبی می نامند. چند ضلعی قاعده نامیده می شود و نقطه S بالای هرم است. بسته به عدد n، هرم را مثلثی (n=3)، چهار گوش (n=4)، پنج ضلعی (n=5) و غیره می نامند. نام جایگزین برای هرم مثلثی شکل است چهار وجهی. ارتفاع هرم عمود نزول از بالای آن به صفحه قاعده است.

هرم اگر منظم نامیده می شود یک چند ضلعی منتظم و قاعده ارتفاع هرم (پایه عمود) مرکز آن است.

نظر استاد راهنما:
مفاهیم "هرم منظم" و "چهاروجهی منظم" را اشتباه نگیرید. در هرم منظم، لبه های کناری لزوماً با لبه های قاعده برابر نیستند، اما در چهار وجهی منظم، هر 6 یال با هم برابرند. این تعریف اوست. به راحتی می توان ثابت کرد که تساوی دلالت بر منطبق بودن مرکز P چند ضلعی دارد با ارتفاع پایه، بنابراین یک چهار وجهی منظم یک هرم منظم است.

آپوتم چیست؟
علامت هرم ارتفاع وجه جانبی آن است. اگر هرم منتظم باشد، پس تمام اثار آن برابر است. عکس این قضیه درست نیست.

یک معلم ریاضی در مورد اصطلاحات خود: 80٪ کار با اهرام از طریق دو نوع مثلث ساخته می شود:
1) حاوی آپوتم SK و ارتفاع SP
2) حاوی لبه جانبی SA و PA برآمدگی آن

برای ساده کردن ارجاعات به این مثلث ها، برای معلم ریاضی راحت تر است که اولین آنها را فراخوانی کند. بی روح، و دوم ساحلی. متأسفانه در هیچ یک از کتاب های درسی این اصطلاح را پیدا نمی کنید و معلم باید آن را یک طرفه معرفی کند.

فرمول حجم یک هرم:
1) ، مساحت قاعده هرم کجاست و ارتفاع هرم است
2) که شعاع کره محاطی است و مساحت کل سطح هرم است.
3) ، که در آن MN فاصله بین هر دو یال متقاطع است و مساحت متوازی الاضلاع است که توسط نقاط میانی چهار یال باقی مانده تشکیل شده است.

ویژگی قاعده ارتفاع هرم:

نقطه P (نگاه کنید به شکل) با مرکز دایره محاطی شده در قاعده هرم منطبق است اگر یکی از شرایط زیر وجود داشته باشد:
1) همه ابهام ها برابرند
2) تمام وجوه جانبی به یک اندازه به پایه متمایل هستند
3) همه آپوتم ها به یک اندازه به ارتفاع هرم تمایل دارند
4) ارتفاع هرم به یک اندازه به تمام وجوه جانبی متمایل است

نظر معلم ریاضی: لطفاً توجه داشته باشید که همه نقاط با یک ویژگی مشترک متحد می شوند: به هر حال، چهره های جانبی در همه جا درگیر هستند (آپوتم ها عناصر آنها هستند). بنابراین، معلم می‌تواند فرمول‌بندی کمتر دقیق‌تر، اما راحت‌تر برای یادگیری ارائه دهد: نقطه P با مرکز دایره محاط شده، پایه هرم منطبق است، اگر اطلاعات مساوی در مورد وجوه جانبی آن وجود داشته باشد. برای اثبات آن کافی است نشان دهیم که همه مثلث های آپوتم برابر هستند.

نقطه P منطبق بر مرکز دایره ای است که در نزدیکی قاعده هرم احاطه شده است اگر یکی از سه شرط درست باشد:
1) تمام لبه های جانبی برابر هستند
2) همه دنده های جانبی به یک اندازه به پایه متمایل هستند
3) همه دنده های جانبی به یک اندازه به ارتفاع متمایل می شوند

• حکم- ارتفاع وجه جانبی یک هرم منتظم که از راس آن کشیده شده است (علاوه بر این، نقطه عمودی طول عمود است که از وسط چند ضلعی منظم به یکی از اضلاع آن پایین می آید).
• صورت های جانبی (ASB، BSC، CSD، DSA) - مثلث هایی که در راس به هم می رسند.
• دنده های جانبی ( مانند , لیسانس. , C.S. , D.S. ) - طرف های مشترک وجه های جانبی؛
• بالای هرم (t. S) - نقطه ای که دنده های جانبی را به هم متصل می کند و در صفحه پایه قرار ندارد.
• ارتفاع ( بنابراین ) - یک بخش عمودی که از بالای هرم به صفحه قاعده آن کشیده شده است (انتهای چنین قسمتی بالای هرم و قاعده عمود خواهد بود).
• بخش مورب هرم- بخشی از هرم که از بالا و مورب قاعده می گذرد.
• پایه (آ ب پ ت) - چند ضلعی که به راس هرم تعلق ندارد.

خواص هرم.

1. وقتی همه لبه های کناری اندازه یکسانی داشته باشند، پس:

• توصیف یک دایره در نزدیکی قاعده هرم آسان است و بالای هرم به مرکز این دایره کشیده می شود.
• دنده های جانبی زوایای مساوی با صفحه پایه تشکیل می دهند.
• علاوه بر این، برعکس نیز صادق است، یعنی. وقتی دنده های کناری زوایای مساوی با صفحه قاعده تشکیل می دهند یا زمانی که بتوان دایره ای را در اطراف قاعده هرم توصیف کرد و بالای هرم به مرکز این دایره بیرون زد، به این معنی است که تمام لبه های کناری هرم به یک اندازه است.

2. هنگامی که وجوه جانبی دارای زاویه تمایل نسبت به صفحه قاعده با همان مقدار هستند، آنگاه:

• توصیف یک دایره در نزدیکی قاعده هرم آسان است و بالای هرم به مرکز این دایره کشیده می شود.
• ارتفاع وجه های جانبی از طول مساوی است.
• مساحت سطح جانبی برابر با ½ حاصلضرب محیط پایه و ارتفاع وجه جانبی است.

3. اگر در قاعده هرم چند ضلعی وجود داشته باشد که دور آن دایره ای توصیف شود (شرط لازم و کافی) می توان کره ای را در اطراف هرم توصیف کرد. مرکز کره نقطه تلاقی صفحاتی خواهد بود که از وسط لبه های هرم عمود بر آنها عبور می کنند. از این قضیه نتیجه می گیریم که یک کره را می توان هم در اطراف هر مثلثی و هم در اطراف هر هرم منظم توصیف کرد.

4. اگر صفحات نیمساز زوایای دو وجهی داخلی هرم در نقطه 1 همدیگر را قطع کنند (شرط لازم و کافی) یک کره را می توان در یک هرم حک کرد. این نقطه به مرکز کره تبدیل خواهد شد.

ساده ترین هرم

بر اساس تعداد زوایا، قاعده هرم به سه گوش، چهار گوش و غیره تقسیم می شود.

یک هرم وجود خواهد داشت مثلثی, چهار گوشو به همین ترتیب، زمانی که قاعده هرم یک مثلث، یک چهار گوش و غیره باشد. یک هرم مثلثی یک چهار وجهی است - یک چهار وجهی. چهار گوش - پنج ضلعی و غیره.

توجه داشته باشید. این بخشی از یک درس با مسائل هندسه است (کلیشه‌سنجی بخش، مسائل مربوط به هرم). اگر نیاز به حل یک مشکل هندسه دارید که اینجا نیست، در مورد آن در انجمن بنویسید. در کارها به جای نماد "ریشه مربع" از تابع sqrt() استفاده می شود که در آن sqrt نماد ریشه مربع است و عبارت رادیکال در براکت نشان داده می شود..برای عبارات رادیکال ساده، می توان از علامت "√" استفاده کرد.

برای مطالب و فرمول های نظری، به فصل "هرم صحیح" مراجعه کنید.

وظیفه

هرم مثلثی منتظم 4 سانتی متر و زاویه دو وجهی در قاعده 60 درجه است. حجم هرم را پیدا کنید.

راه حل.

از آنجایی که هرم منظم است، موارد زیر را در نظر بگیرید:

• ارتفاع هرم بر روی مرکز پایه پیش بینی شده است
• با توجه به مسئله، مرکز قاعده یک هرم منتظم یک مثلث متساوی الاضلاع است
• مرکز یک مثلث متساوی الاضلاع هم مرکز دایره محاطی و هم محاطی است.
• ارتفاع هرم با صفحه قاعده زاویه قائمه تشکیل می دهد

حجم هرم را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:
V = 1/3 Sh

از آنجایی که فرضیه یک هرم منتظم با ارتفاع هرم یک مثلث قائم الزاویه را تشکیل می دهد، برای یافتن ارتفاع از قضیه سینوس ها استفاده می کنیم. علاوه بر این، بیایید در نظر بگیریم:

• پایه اول مثلث قائم الزاویه مورد بررسی ارتفاع، پایه دوم شعاع دایره محاطی است (در مثلث منتظم، مرکز به طور همزمان مرکز دایره محاط شده و محصور است)، هیپوتنوس نقطه پایانی است. هرم
• زاویه سوم مثلث قائم الزاویه برابر با 30 درجه است (مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است، زاویه 60 درجه با شرط داده می شود، زاویه دوم یک خط مستقیم با توجه به ویژگی های هرم است. سومی 180-90-60 = 30)
• سینوس 30 درجه برابر با 1/2 است
• سینوس 60 درجه برابر است با ریشه سه در نصف
• سینوس 90 درجه 1 است

با توجه به قضیه سینوس:
4 / sin(90) = h / sin(60) = r / sin(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
جایی که
r = 2
h = 2√3

در پایه هرم یک مثلث منظم قرار دارد که مساحت آن را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:
S مثلث منظم = 3√3 r 2.
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.

حالا بیایید حجم هرم را پیدا کنیم:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 سانتی متر 3.

پاسخ: 24 سانتی متر 3 .

وظیفه

ارتفاع و ضلع قاعده هرم چهار گوش منتظم به ترتیب 24 و 14 است. نام هرم را پیدا کنید.

راه حل .

از آنجایی که هرم منظم است، در پایه آن یک چهار ضلعی منظم - یک مربع قرار دارد. علاوه بر این، ارتفاع هرم به مرکز مربع کشیده شده است. بنابراین، ساق یک مثلث قائم الزاویه که از نقطه‌ای هرم، ارتفاع و قطعه‌ای که آن‌ها را به هم متصل می‌کند، تشکیل می‌شود، برابر است با نصف طول قاعده یک هرم چهار گوش منتظم.

در جایی که طبق قضیه فیثاغورث، طول آپوتم از معادله بدست می آید:

7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25

جواب: 25 سانتی متر

تعریف. لبه کناری- این مثلثی است که در آن یک زاویه در بالای هرم قرار دارد و ضلع مقابل با ضلع پایه (چند ضلعی) منطبق است.

تعریف. دنده های کناری- اینها اضلاع مشترک وجه های جانبی هستند. هرم به اندازه زوایای یک چندضلعی لبه دارد.

تعریف. ارتفاع هرم- این یک عمود است که از بالا به پایه هرم پایین آمده است.

تعریف. آپوتم- این یک عمود بر وجه جانبی هرم است که از بالای هرم به سمت پایه پایین آمده است.

تعریف. بخش مورب- این بخشی از یک هرم است که توسط صفحه ای که از بالای هرم و مورب قاعده عبور می کند.

تعریف. هرم درستهرمی است که قاعده آن چند ضلعی منتظم است و ارتفاع آن تا مرکز قاعده پایین می آید.

حجم و سطح هرم

فرمول. حجم هرماز طریق مساحت و ارتفاع پایه:

خواص هرم

اگر تمام لبه های کناری با هم برابر باشند، می توان یک دایره در اطراف پایه هرم رسم کرد و مرکز پایه با مرکز دایره منطبق است. همچنین، یک عمود رها شده از بالا از مرکز پایه (دایره) عبور می کند.

اگر تمام لبه های جانبی با هم برابر باشند، آنها در همان زوایای به صفحه پایه متمایل می شوند.

لبه های جانبی وقتی با صفحه قاعده زوایای مساوی تشکیل می دهند یا اگر بتوان دور قاعده هرم دایره ای را توصیف کرد، برابر هستند.

اگر وجوه جانبی با همان زاویه به صفحه قاعده متمایل شوند، می توان دایره ای را در قاعده هرم حک کرد و بالای هرم را به مرکز آن بیرون زد.

اگر وجوه جانبی در یک زاویه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه آپوتم های وجوه جانبی با هم برابرند.

ویژگی های یک هرم منظم

1. بالای هرم از تمام زوایای قاعده فاصله دارد.

2. تمام لبه های جانبی برابر هستند.

3. همه دنده های جانبی در زوایای مساوی نسبت به پایه متمایل هستند.

4. آپوتم های تمام وجوه جانبی با هم برابرند.

5. مساحت تمام وجوه جانبی برابر است.

6. همه وجوه دارای زوایای دو وجهی (مسطح) یکسانی هستند.

7. یک کره را می توان در اطراف هرم توصیف کرد. مرکز کره محصور، نقطه تلاقی عمودهایی خواهد بود که از وسط لبه ها می گذرند.

8. شما می توانید یک کره را در یک هرم قرار دهید. مرکز کره محاط شده، نقطه تقاطع نیمسازها خواهد بود که از زاویه بین لبه و قاعده سرچشمه می گیرد.

9. اگر مرکز کره محاطی شده با مرکز کره محصور منطبق باشد، مجموع زوایای صفحه در راس برابر است با π یا بالعکس، یک زاویه برابر است با π/n که n عدد است. زوایای قاعده هرم

ارتباط بین هرم و کره

زمانی می توان یک کره را در اطراف یک هرم توصیف کرد که در قاعده هرم یک چندوجهی وجود داشته باشد که دور آن دایره ای توصیف شود (شرط لازم و کافی). مرکز کره نقطه تلاقی صفحاتی خواهد بود که به طور عمود از نقاط میانی لبه های جانبی هرم عبور می کنند.

همیشه می توان یک کره را در اطراف هرم مثلثی یا منظم توصیف کرد.

اگر صفحات نیمساز زوایای دو وجهی داخلی هرم در یک نقطه همدیگر را قطع کنند (شرط لازم و کافی) یک کره را می توان در یک هرم حک کرد. این نقطه مرکز کره خواهد بود.

اتصال یک هرم با یک مخروط

مخروط در صورتی در یک هرم محاط می شود که رئوس آنها منطبق باشند و قاعده مخروط در قاعده هرم حک شده باشد.

در صورتی می توان مخروط را در هرم حک کرد که اثاثیه های هرم با یکدیگر برابر باشند.

مخروط به دور هرم احاطه شده است که رئوس آنها منطبق باشند و قاعده مخروط دور قاعده هرم احاطه شده باشد.

یک مخروط را می توان در اطراف هرم توصیف کرد اگر تمام لبه های جانبی هرم با یکدیگر برابر باشند.

رابطه بین هرم و استوانه

در صورتی که بالای هرم روی یک پایه استوانه باشد و قاعده هرم در قاعده دیگر استوانه حک شده باشد، هرم را در یک استوانه محاط می گویند.

اگر بتوان دایره ای را در اطراف قاعده هرم توصیف کرد، می توان یک استوانه را در اطراف یک هرم توصیف کرد.

تعریف. هرم بریده شده (منشور هرمی)چند وجهی است که بین قاعده هرم و صفحه مقطع موازی با قاعده قرار دارد. بنابراین یک هرم دارای یک پایه بزرگتر و یک پایه کوچکتر است که شبیه به هرم بزرگتر است. صورت های جانبی ذوزنقه ای هستند.

تعریف. هرم مثلثی (چهار ضلعی)هرمی است که سه وجه و قاعده آن مثلث های دلخواه هستند.

چهار وجهی دارای چهار وجه و چهار رأس و شش یال است که هر دو یال دارای رئوس مشترک نیستند اما با هم تماس ندارند.

هر رأس از سه وجه و یال تشکیل شده است که تشکیل می شوند زاویه مثلثی.

قطعه ای که راس یک چهار وجهی را به مرکز وجه مقابل متصل می کند نامیده می شود میانه چهار وجهی(GM).

دو میانیقطعه ای نامیده می شود که نقاط میانی لبه های مخالف را که با یکدیگر تماس ندارند (KL) را به هم متصل می کند.

همه دومیان ها و میانه های یک چهار وجهی در یک نقطه (S) قطع می شوند. در این مورد، دوسطح ها به نصف تقسیم می شوند و میانه ها با شروع از بالا به نسبت 3:1 تقسیم می شوند.

تعریف. هرم مایلهرمی است که در آن یکی از لبه های آن با قاعده یک زاویه منفرد (β) تشکیل می دهد.

تعریف. هرم مستطیلیهرمی است که یکی از وجوه کناری آن عمود بر قاعده است.

تعریف. هرم زاویه دار حاد- هرمی که در آن آپوتم بیش از نصف طول ضلع قاعده است.

تعریف. هرم مات- هرمی که در آن آپوتم کمتر از نصف طول ضلع قاعده است.

تعریف. چهار وجهی منظم- چهار وجهی که هر چهار وجه آن مثلث متساوی الاضلاع هستند. این یکی از پنج چند ضلعی منتظم است. در یک چهار وجهی منظم، تمام زوایای دو وجهی (بین وجهی) و زوایای سه وجهی (در رأس) برابر هستند.

تعریف. چهار وجهی مستطیلیچهار ضلعی نامیده می شود که در آن یک زاویه قائمه بین سه یال در راس وجود دارد (لبه ها عمود هستند). سه چهره تشکیل می شود زاویه مثلثی مستطیلیو وجه ها مثلث قائم الزاویه هستند و قاعده یک مثلث دلخواه است. آپوتم هر صورت برابر است با نصف ضلع پایه ای که آپوتم روی آن می افتد.

تعریف. چهار وجهی ایزوهدرالچهار ضلعی نامیده می شود که وجوه جانبی آن با یکدیگر برابر و قاعده آن مثلثی منتظم است. چنین چهار وجهی دارای وجوهی است که مثلث متساوی الساقین هستند.

تعریف. چهار وجهی ارتوسنتریکچهار ضلعی نامیده می شود که در آن تمام ارتفاعات (عمود) که از بالا به طرف مقابل پایین می آیند در یک نقطه تلاقی می کنند.

تعریف. هرم ستارهچند وجهی نامیده می شود که قاعده آن ستاره است.

تعریف. دو هرم- یک چندوجهی متشکل از دو هرم مختلف (اهرام را نیز می توان قطع کرد)، دارای یک پایه مشترک، و رئوس در طرف مقابل صفحه پایه قرار دارند.

هرم یک چندوجهی فضایی یا چندوجهی است که در مسائل هندسی یافت می شود. ویژگی های اصلی این شکل حجم و مساحت آن است که از دانش هر دو ویژگی خطی آن محاسبه می شود. یکی از این ویژگی ها، ابهام هرم است. در مقاله مورد بحث قرار خواهد گرفت.

شکل هرمی

قبل از ارائه تعریف آپوتم هرم، بیایید با خود شکل آشنا شویم. هرم یک چندوجهی است که توسط یک قاعده n ضلعی و n مثلث تشکیل شده است که سطح جانبی شکل را تشکیل می دهد.

هر هرم یک راس دارد - نقطه اتصال همه مثلث ها. عمود رسم شده از این راس به قاعده ارتفاع نامیده می شود. اگر ارتفاع پایه را در مرکز هندسی قطع کند، آن شکل را یک خط مستقیم می نامند. هرم مستقیم با قاعده متساوی الاضلاع منظم نامیده می شود. شکل یک هرم با پایه شش ضلعی را نشان می دهد که از طرفین و لبه ها مشاهده می شود.

حکایت از یک هرم منظم

به آن آپوتم نیز می گویند. به عنوان یک عمود کشیده شده از بالای هرم به سمت قاعده شکل درک می شود. با تعریف آن، این عمود مطابق با ارتفاع مثلثی است که وجه جانبی هرم را تشکیل می دهد.

از آنجایی که ما یک هرم منظم با پایه n ضلعی را در نظر می گیریم، پس همه n آپوتم برای آن یکسان خواهد بود، زیرا اینها مثلث های متساوی الساقین سطح جانبی شکل هستند. توجه داشته باشید که آپوته های یکسان ویژگی یک هرم منظم است. برای یک شکل از نوع عمومی (میل با n-ضلع نامنظم)، همه n آپوتم ها متفاوت خواهند بود.

یکی دیگر از ویژگی های هرم منتظم این است که به طور همزمان ارتفاع، میانه و نیمساز مثلث مربوطه است. این بدان معنی است که آن را به دو مثلث قائم الزاویه یکسان تقسیم می کند.

و فرمول هایی برای تعیین خطای آن

در هر هرم منظم، مشخصه های خطی مهم طول ضلع قاعده آن، لبه جانبی b، ارتفاع h و آپوتم h b است. این کمیت ها با فرمول های مربوطه به یکدیگر مربوط می شوند که با رسم هرم و در نظر گرفتن مثلث های قائم الزاویه لازم به دست می آیند.

هرم مثلثی منظم از 4 وجه مثلثی تشکیل شده است که یکی از آنها (پایه) باید متساوی الاضلاع باشد. بقیه در حالت کلی متساوی الساقین هستند. با استفاده از فرمول های زیر می توان نام هرم مثلثی را بر حسب مقادیر دیگر تعیین کرد:

h b = √(b 2 - a 2 /4);

h b = √(a 2 /12 + h 2)

اولین مورد از این عبارات برای هرمی با هر پایه منظم صادق است. عبارت دوم منحصراً برای یک هرم مثلثی معمولی است. این نشان می دهد که آپوتم همیشه بزرگتر از ارتفاع شکل است.

کلمه هرم را نباید با چندوجهی اشتباه گرفت. در مورد دوم، آپوتم یک پاره عمودی است که از مرکز آن به سمت چندوجهی کشیده شده است. برای مثال، آپوتم مثلث متساوی الاضلاع √3/6*a است.

مشکل محاسبه آپوتم

اجازه دهید یک هرم منظم با یک مثلث در قاعده به ما داده شود. اگر معلوم شود که مساحت این مثلث 34 سانتی متر مربع است و خود هرم از 4 وجه یکسان تشکیل شده است، لازم است که ابطال آن را محاسبه کنیم.

مطابق با شرایط مسئله، با یک چهار وجهی متشکل از مثلث های متساوی الاضلاع روبرو هستیم. فرمول مساحت یک صورت:

طول ضلع a را از کجا بدست می آوریم:

برای تعیین آپوتم h b، از فرمولی حاوی لبه جانبی b استفاده می کنیم. در مورد مورد بررسی، طول آن برابر با طول پایه است، داریم:

h b = √(b 2 - a 2 /4) = √3/2*a

با جایگزینی مقدار a تا S، فرمول نهایی را بدست می آوریم:

h b = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)

ما یک فرمول ساده به دست آورده‌ایم که در آن پیامد هرم فقط به مساحت قاعده آن بستگی دارد. اگر مقدار S را از شرایط مسئله جایگزین کنیم، به جواب می رسیم: h b ≈ 7.674 سانتی متر.