În loc de cuvântul „model”, uneori se folosește „maturare”, dar acest termen este ambiguu: de exemplu, un alez este un instrument pentru creșterea diametrului unei găuri, iar în tehnologia electronică există un concept de alez. Prin urmare, deși sunt obligat să folosesc cuvintele „cone sweep” pentru ca motoarele de căutare să poată găsi acest articol folosindu-le, voi folosi cuvântul „pattern”.
Construirea unui model pentru un con este o chestiune simplă. Să luăm în considerare două cazuri: pentru un con plin și pentru unul trunchiat. Pe imagine (click pentru a mari) Sunt prezentate schițe ale unor astfel de conuri și modelele lor. (Remarc imediat că vom vorbi doar despre conuri drepte cu bază rotundă. Vom lua în considerare conurile cu bază ovală și conurile înclinate în articolele următoare).
Denumiri:
Parametrii modelului sunt calculați prin formulele:
;
;
Unde 
.
Denumiri:
Formule pentru calcularea parametrilor modelului: 
;
;
;
Unde 
.
Rețineți că aceste formule sunt potrivite și pentru conul complet dacă înlocuim .
Uneori, la construirea unui con, valoarea unghiului la vârful acestuia (sau la vârful imaginar, dacă conul este trunchiat) este fundamentală. Cel mai simplu exemplu este atunci când aveți nevoie de un con pentru a se potrivi perfect în altul. Să notăm acest unghi cu o literă (vezi imaginea).
În acest caz, îl putem folosi în locul uneia dintre cele trei valori de intrare: , sau . De ce „împreună O", nu împreună e"? Deoarece trei parametri sunt suficienți pentru a construi un con, iar valoarea celui de-al patrulea este calculată prin valorile celorlalți trei. De ce exact trei, și nu două sau patru, este o întrebare care depășește scopul acestui articol. O voce misterioasă îmi spune că aceasta este cumva legată de tridimensionalitatea obiectului „con”. (Comparați cu cei doi parametri inițiali ai obiectului segment de cerc bidimensional, din care am calculat toți ceilalți parametri ai acestuia în articol.)
Mai jos sunt formulele prin care se determină al patrulea parametru al conului când sunt date trei.
În ceea ce privește conurile trunchiate, programul Cones încă construiește modele pentru conuri care au doar baze paralele.
Pentru cei care caută o modalitate de a construi un model trunchi de con cu baze non-paralele, iată un link oferit de unul dintre vizitatorii site-ului:
Un trunchi de con cu baze neparalele.
Uneori apare sarcina - de a face o umbrelă de protecție pentru o evacuare sau un coș de fum, un deflector de evacuare pentru ventilație etc. Dar înainte de a începe producția, trebuie să faceți un model (sau să scanați) pentru material. Pe Internet există tot felul de programe pentru calcularea unor astfel de mături. Cu toate acestea, problema este atât de ușor de rezolvat încât o vei calcula rapid cu un calculator (pe computer) decât vei căuta, descărca și te ocupi de aceste programe.
Să începem cu o opțiune simplă - dezvoltarea unui con simplu. Cel mai simplu mod de a explica principiul calculării modelului este cu un exemplu.
Să presupunem că trebuie să facem un con cu un diametru de D cm și o înălțime de H centimetri. Este destul de clar că un cerc cu un segment tăiat va acționa ca un gol. Sunt cunoscuți doi parametri - diametrul și înălțimea. Folosind teorema lui Pitagora, calculăm diametrul cercului piesei de prelucrat (nu îl confundam cu raza terminat conuri). Jumătate din diametru (rază) și înălțime formează un triunghi dreptunghic. De aceea:
Deci, acum cunoaștem raza piesei de prelucrat și putem tăia cercul.
Calculați unghiul sectorului de tăiat din cerc. Argumentăm după cum urmează: diametrul piesei de prelucrat este 2R, ceea ce înseamnă că circumferința este Pi * 2 * R - adică. 6,28*R. O notăm cu L. Cercul este complet, adică. 360 de grade. Și circumferința conului finit este Pi * D. O notăm cu Lm. Este, desigur, mai mică decât circumferința piesei de prelucrat. Trebuie să tăiem un segment cu o lungime a arcului egală cu diferența dintre aceste lungimi. Aplicați regula raportului. Dacă 360 de grade ne oferă circumferința completă a piesei de prelucrat, atunci unghiul dorit ar trebui să dea circumferința conului finit.
Din formula raportului, obținem dimensiunea unghiului X. Și sectorul tăiat se află scăzând 360 - X.
Dintr-un semifabricat rotund cu raza R, trebuie tăiat un sector cu un unghi (360-X). Asigurați-vă că lăsați o fâșie mică de material suprapus (dacă suportul conic se va suprapune). După conectarea părților laterale ale sectorului tăiat, obținem un con de o dimensiune dată.
De exemplu: Avem nevoie de un con de hotă de fum cu o înălțime (H) de 100 mm și un diametru (D) de 250 mm. Conform formulei lui Pitagora, obținem raza piesei de prelucrat - 160 mm. Și circumferința piesei de prelucrat, respectiv, 160 x 6,28 = 1005 mm. În același timp, circumferința conului de care avem nevoie este de 250 x 3,14 = 785 mm.
Atunci obținem că raportul unghiurilor va fi: 785 / 1005 x 360 = 281 grade. În consecință, este necesar să tăiați sectorul 360 - 281 = 79 de grade.
Un astfel de detaliu este uneori necesar la fabricarea adaptoarelor de la un diametru la altul sau pentru deflectoarele Volpert-Grigorovici sau Khanzhenkov. Ele sunt folosite pentru a îmbunătăți tirajul într-un coș sau conductă de ventilație.
Sarcina este ușor complicată de faptul că nu cunoaștem înălțimea întregului con, ci doar partea sa trunchiată. În general, există trei numere inițiale: înălțimea trunchiului de con H, diametrul găurii inferioare (bazei) D și diametrului găurii superioare Dm (la secțiunea transversală a conului complet). Dar vom recurge la aceleași construcții matematice simple bazate pe teorema lui Pitagora și asemănarea.
Într-adevăr, este evident că valoarea (D-Dm) / 2 (jumătate din diferența de diametre) se va raporta cu înălțimea trunchiului de con H la fel ca raza bazei la înălțimea întregului con, de parcă nu ar fi trunchiat. Găsim înălțimea totală (P) din acest raport.
(D – Dm)/ 2H = D/2P
Prin urmare Р = D x H / (D-Dm).
Acum cunoscând înălțimea totală a conului, putem reduce soluția problemei la cea anterioară. Calculați dezvoltarea piesei de prelucrat ca și cum ar fi un con complet, apoi „scădeți” din acesta dezvoltarea părții superioare, inutile. Și putem calcula direct razele piesei de prelucrat.
Obținem prin teorema lui Pitagora o rază mai mare a piesei de prelucrat - Rz. Aceasta este rădăcina pătrată a sumei pătratelor înălțimii P și D/2.
Raza mai mică Rm este rădăcina pătrată a sumei pătratelor (P-H) și Dm/2.
Circumferința piesei noastre de prelucrat este 2 x Pi x Rz sau 6,28 x Rz. Și circumferința bazei conului este Pi x D, sau 3,14 x D. Raportul lungimii lor va da raportul dintre unghiurile sectoarelor, dacă presupunem că unghiul complet al piesei de prelucrat este de 360 de grade.
Acestea. X / 360 = 3,14 x D / 6,28 x Rz
Prin urmare, X \u003d 180 x D / Rz (Acesta este unghiul care trebuie lăsat pentru a obține circumferința bazei). Și trebuie să tăiați în consecință 360 - X.
De exemplu: trebuie să facem un trunchi de con de 250 mm înălțime, diametrul bazei 300 mm, diametrul găurii superioare 200 mm.
Găsim înălțimea conului complet P: 300 x 250 / (300 - 200) = 600 mm
Conform metodei lui Pitagora, găsim raza exterioară a piesei de prelucrat Rz: Rădăcina pătrată a lui (300/2) ^ 2 + 6002 = 618,5 mm
Prin aceeași teoremă, găsim raza mai mică Rm: Rădăcina pătrată a lui (600 - 250)^2 + (200/2)^2 = 364 mm.
Determinăm unghiul sectorului piesei noastre de prelucrat: 180 x 300 / 618,5 = 87,3 grade.
Pe material desenăm un arc cu o rază de 618,5 mm, apoi din același centru - un arc cu o rază de 364 mm. Unghiul arcului poate avea aproximativ 90-100 de grade de deschidere. Desenăm raze cu un unghi de deschidere de 87,3 grade. Pregătirea noastră este gata. Nu uitați să permiteți marginile cusăturilor dacă se suprapun.
Definiția trunchiului de con
Un trunchi de con poate fi obținut dintr-un con obișnuit dacă un astfel de con este intersectat de un plan paralel cu baza. Atunci figura care se află între două plane (acest plan și baza unui con obișnuit) va fi numită trunchi de con.
El are două baze, care pentru un con circular sunt cercuri, iar unul dintre ele este mai mare decât celălalt. Trunchiul de con are de asemenea înălţime- un segment care leagă două baze și perpendicular pe fiecare dintre ele.
Trunchiul de con poate fi direct, apoi centrul unei baze este proiectat în centrul celei de-a doua. Dacă conul înclinat, atunci o astfel de proiecție nu are loc.
Luați în considerare un con circular drept. Volumul acestei cifre poate fi calculat în mai multe moduri.
Dacă ni se oferă un trunchi de con circular, atunci putem găsi volumul acestuia folosind formula:
Volumul trunchi de conV = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\ cdot r_2+r_2^2)V =3 1 ⋅ π ⋅ h ⋅(r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2 )
R1, r2r_1, r_2 r 1
,
r 2
- razele bazelor conului;
h h h- distanta dintre aceste baze (inaltimea trunchiului de con).
Luați în considerare un exemplu.
Sarcina 1Aflați volumul unui trunchi de con dacă se știe că aria bazei mici este 64 π cm 2 64\pi\text( cm)^26 4 pi cm2 , mare - 169 π cm 2 169\pi\text( cm)^21 6 9 cm2 , iar înălțimea sa este 14 cm 14\text( cm) 1 4 cm.
Soluţie
S 1 \u003d 64 π S_1 \u003d 64 \ pi S 1
=
6 4 pi
S 2 \u003d 169 π S_2 \u003d 169 \ pi S 2
=
1 6 9
h=14 h=14 h =1
4
Aflați raza bazei mici:
S 1 = π ⋅ r 1 2 S_1=\pi\cdot r_1^2S 1 = π ⋅ r 1 2
64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^26 4 π =π ⋅ r 1 2
64=r 1 2 64=r_1^2 6 4 = r 1 2
R1=8 r_1=8 r 1 = 8
În mod similar, pentru baza mare:
S 2 = π ⋅ r 2 2 S_2=\pi\cdot r_2^2S 2 = π ⋅ r 2 2
169 π = π ⋅ r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^21 6 9π ⋅ r 2 2
169=r 2 2 169=r_2^2 1 6 9 = r 2 2
R2=13 r_2=13 r 2 = 1 3
Calculați volumul conului:
V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) = 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 3 4 = 8 cm 3 V = 3 \frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot14\cdot(8 ^2+8\cdot 13+13^2)\approx4938\text( cm)^3V =3 1 ⋅ π ⋅ h ⋅(r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2 ) = 3 1 ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 cm3
Răspuns
4938 cmc. 4938\text(cm)^3.4 9 3 8 cm3 .
Să presupunem că avem un trunchi de con. Adăugați mental piesa care lipsește, făcând astfel un „con normal” cu un vârf. Apoi volumul unui trunchi de con poate fi găsit ca diferență între volumele a două conuri cu baze corespunzătoare și distanța (înălțimea) acestora până la vârful conului.
Volumul trunchi de conV = 1 3 ⋅ S ⋅ H − 1 3 ⋅ s ⋅ h = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) V=\frac(1)(3)\cdot S\cdot H-\frac(1) (3)\cdot s\cdot h=\frac(1)(3)\cdot (S\cdot H-s\cdot h)V =3 1 ⋅ S ⋅H-3 1 ⋅ s⋅h =3 1 ⋅ (S ⋅H-s⋅h)
S S S este aria bazei conului mare;
HH H este înălțimea acestui con (mare);
s s s- zona bazei conului mic;
h h h- înălțimea acestui (mic) con;
Determinați volumul trunchiului de con dacă înălțimea conului complet este HH H este egal cu 10 cm 10\text( cm)
Soluţie
R=5 R=5
Găsiți aria ambelor baze ale conului:
S = π ⋅ R 2 = π ⋅ 5 2 ≈ 78,5 S=\pi\cdot R^2=\pi\cdot 5^2\approx78,5
s = π ⋅ r 2 = π ⋅ 4 2 ≈ 50,24 s=\pi\cdot r^2=\pi\cdot 4^2\approx50,24
Aflați înălțimea conului mic h h
H − h = 8 H-h=8
h = H − 8 h=H-8
h = 10 − 8 h=10-8
h=2 h=2
Volumul este egal cu formula:
V = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) ≈ 1 3 ⋅ (78,5 ⋅ 10 − 50,24 ⋅ 2) ≈ 228 cm 3 V=\frac(1)(3)\cdot (S\cdot H-s\cdot h)\aprox\frac(1)(3)\cdot (78,5\cdot 10-50,24\cdot 2)\approx228\text( cm)^3
Răspuns
228 cmc. 228\text(cm)^3.
Dintre varietatea de corpuri geometrice, unul dintre cele mai interesante este conul. Se formează prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unuia dintre picioarele sale.
Înainte de a începe să calculați volumul unui con, ar trebui să vă familiarizați cu conceptele de bază.
Pentru a calcula volumul unui con, se folosește formula V=1/3*S*H, unde S este aria bazei, H este înălțimea. Deoarece baza conului este un cerc, aria sa se găsește prin formula S= nR^2, unde n = 3,14, R este raza cercului.
Există o situație în care unii dintre parametrii sunt necunoscuți: înălțimea, raza sau generatria. În acest caz, merită să apelăm la teorema lui Pitagora. Secțiunea axială a conului este un triunghi isoscel, format din două triunghiuri dreptunghiulare, unde l este ipotenuza, iar H și R sunt catetele. Atunci l=(H^2+R^2)^1/2.
Un trunchi de con este un con cu un vârf tăiat.
Pentru a găsi volumul unui astfel de con, aveți nevoie de formula:
V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),
unde n=3,14, r este raza cercului de secțiune, R este raza bazei mari, H este înălțimea.
Secțiunea axială a trunchiului de con va fi un trapez isoscel. Prin urmare, dacă este necesar să găsiți lungimea generatricei unui con sau raza unuia dintre cercuri, merită să utilizați formule pentru găsirea laturilor și bazelor unui trapez.
Aflați volumul unui con dacă înălțimea lui este de 8 cm și raza bazei este de 3 cm.
Dat: H=8 cm, R=3 cm.
Mai întâi, găsiți aria bazei aplicând formula S=nR^2.
S=3,14*3^2=28,26cm^2
Acum, folosind formula V=1/3*S*H, găsim volumul conului.
V=1/3*28,26*8=75,36cm^3
Figuri în formă de con se găsesc peste tot: conuri de parcare, turnuri de clădire, abajur de lampă. Prin urmare, a ști cum să găsești volumul unui con poate fi uneori util atât în viața profesională, cât și în viața de zi cu zi.
În geometrie, un trunchi de con este un corp care este format prin rotirea unui trapez dreptunghiular în jurul acelei laturi a acestuia, care este perpendiculară pe bază. Cum calculează volumul trunchi de con, toată lumea știe de la cursul de geometrie a școlii, iar în practică aceste cunoștințe sunt adesea folosite de proiectanții diferitelor mașini și mecanisme, dezvoltatorii unor bunuri de larg consum, precum și de arhitecți.
Calculul volumului unui trunchi de con
Volumul unui trunchi de con se calculează prin formula:
| V | πh (R 2 + R × r + r 2) |
h- inaltimea conului
r- raza bazei superioare
R- raza inferioară a bazei
V- volumul trunchiului de con
π - 3,14
Cu asemenea corpuri geometrice ca conuri trunchiate, în viața de zi cu zi, toată lumea se întâlnește destul de des, dacă nu în mod constant. Forma lor are o mare varietate de recipiente utilizate pe scară largă în viața de zi cu zi: găleți, pahare, câteva căni. Este de la sine înțeles că designerii care le-au dezvoltat trebuie să fi folosit o formulă care calculează volumul trunchi de con, deoarece această valoare este foarte importantă în acest caz, deoarece determină o caracteristică atât de importantă precum capacitatea produsului.
Structuri de inginerie, care sunt conuri trunchiate, poate fi văzut adesea la marile întreprinderi industriale, precum și la centralele termice și nucleare. Este această formă pe care o au turnurile de răcire - dispozitive concepute pentru a răci cantități mari de apă prin forțarea unui contracurent al aerului atmosferic. Cel mai adesea, aceste modele sunt utilizate în cazurile în care este necesară reducerea semnificativă a temperaturii unei cantități mari de lichid într-un timp scurt. Dezvoltatorii acestor structuri trebuie să stabilească volumul trunchi de con formula de calcul care este destul de simplă și cunoscută de toți cei care cândva au studiat bine în liceu.
Detaliile care au această formă geometrică se găsesc destul de des în proiectarea diferitelor dispozitive tehnice. De exemplu, angrenajele utilizate în sistemele în care este necesară schimbarea direcției de transmisie cinetică sunt cel mai adesea implementate folosind roți dințate conice. Aceste piese fac parte integrantă dintr-o mare varietate de cutii de viteze, precum și cutii de viteze automate și manuale utilizate în mașinile moderne.
Forma unui trunchi de con are unele scule de tăiere care sunt utilizate pe scară largă în producție, de exemplu, freze. Cu ajutorul lor, puteți prelucra suprafețe înclinate la un anumit unghi. Pentru ascuțirea tăietorilor de echipamente pentru prelucrarea metalelor și a lemnului, se folosesc adesea roți abrazive, care sunt, de asemenea, trunchi de con. In afara de asta, volumul trunchi de con se impune determinarea proiectanților mașinilor de strunjit și de frezat, care presupun fixarea unei scule de tăiere dotate cu tije conice (burghie, alezoare etc.).
